1.1 Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().