2. Свойства сходящихся рядов.

1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.

Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о предельном переходе в равенстве 2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

Сгруппируем члены ряда, например, так. Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

3.В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов . Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.

Запишем частичные суммы второго ряда . По теореме о предельном переходе в равенстве .

Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозначается

4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).

Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».

5. Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.

Рассмотрим два сходящихся ряда и . Рассмотрим ряд , где . . Переходя к пределу в равенстве, получим.

Примеры.

1. Ряд —58+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первых четыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию

2. Ряд расходится. Он представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно сходящийся ряд , мы должны были бы по свойству 5 получить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.

3. Ряд сходится. Рассмотрим сходящийся ряд . Группируем его члены , получаем исходный ряд. Следовательно, он сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.

3. –

4. Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Уравнение:

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими номерами были сколь угодно малы. Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда

5. –

6. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами

(17)

и

(18)

и каждый член ряда (17) не превосходит соответствующего члена ряда (18), т.е. выполняется (n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд (18), то сходится и ряд (17). Если ряд (17) расходится, то ряд (18) также расходится. Этот признак остается в силе, если условие выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого номера n = N.

7. Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел

,

то оба ряда с положительными членами

и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией

, q > 0, (19)

которая при q < 1 сходится и имеет сумму S = a / (1-q), а при q 1 расходится, или с расходящимся гармоническим рядом

. (20)

8. Признак Даламбера. Если для ряда

(11)

существует предел

, (12)

то ряд (11) сходится, если D<1 и расходится, если D>1.

9. Признак Коши. Если для ряда

(13)

существует предел

, (14)

то ряд (13) сходится, если c<1, и расходится, если c>1.

10. Интегральный признак Маклорена – Коши. Этот признак построен на идее сравнения ряда с несобственным интегралом. Представим ряд с положительными членами в виде

, (15)

где f (n) = un - значение некоторой функции f(x) при x = n, определенной в области x 1.

Если f(x) при x 1 непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд (15) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

,

т.е. существует конечный предел

. (16)

11. Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.

Формулировка

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия: