13. Достаточные условия экстремума функции двух переменных

Пусть в некоторой области, содержащей точку М0(х0, у0), функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка в точке М0(х0, у0) и некоторой её окрестности. Пусть, кроме того, пусть в этой точке М0(х0, у0) выполняются необходимые условия экстремума функции f (x, y)

(1)

Тогда функция f (x, y) в точке М0(х0, у0) имеет максимум, если

В2– А·С < 0, A < 0;

функция f (x, y) в точке М0(х0, у0) имеет минимум, если

В2– А·С < 0, A > 0;

функция f (x, y) в точке М0(х0, у0) не имеет ни максимума, ни минимума, если

В2– А·С > 0;

функция f (x, y) в точке М0(х0, у0) может иметь, и может не иметь экстремум (в этом случае требуются дополнительные исследования), если

В2– А·С = 0;

где

Доказательство. Представим приращение функции по формуле Тейлора в виде

(2)

где

Так как для функции f (x, y) в точке М0(х0, у0) выполнены соотношения (1), то (2) можно представить в виде

(3)

Для достаточно малого Δρ знак левой части соотношения (3) будет совпадать с d2 f

где , Δу ≠ 0 и обозначение sign A означает знак величины А

Знакоопределённость квадратного трёхчлена, а значит определённость знака приращения функции для любых значений λ, имеет место только в одном случае - в случае отрицательного дискриминанта квадратного трехчлена В2 – А С < 0. Если к тому же А < 0, то квадратный трехчлен отрицателен для любых значений λ, значит отрицательно приращение функции, что соответствует случаю локального максимума функции в данной точке.