12 Интегрирование иррациональных выражений

Найдём неопределённый интеграл от иррационального выражения

Избавимся в первую очередь от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на x − 1:

Первый интеграл является табличным, и найти его можно с помощью подстановки Чебышева:

I₁ = ∫dx/√(x² − 1) = ln|x + √(x² − 1)| + C

Во втором интеграле домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на x:

Применим теперь подстановку t² = x² − 1. Тогда x² = 1 + t²; x·dx = t·dt

I₂ = ∫dt/(1 + t²) = arctg t = arctg√(x² − 1)

Окончательно:

I = ln|x + √(x² − 1)| − arctg√(x² − 1) + C

13. –