13. Знакопеременные ряды

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(-1)n-1.un+…, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u1>u2>…>un>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n=(u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n).

По условию u1>u2>…>u2n-1>u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n>0 при любом n.

С другой стороны S2n=u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому S2n<u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S2n=S. При этом 0<S≤u1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1=S2n+u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S2n+1= S2n+ u2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому Sn=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана