7. Теорема о разложении многочлена на линейные множители

Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида х – а и множитель, равный коэффициенту при старшей степени xn.

Доказательство. Пусть f (x) = A0xn + A1xn - 1 + … + An — многочлен n – ой степени. Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет один корень а1. Тогда из следствия теоремы Безу будем иметь f (x) = (х – а1)·f1 (x), где f1 (x) — многочлен степени n - 1. Многочлен f1 (x) тоже имеет корень а2.

Тогда f1 (x) = (х – а2 )·f2 (x), где f 2 (x) — многочлен степени n – 2. Аналогично f2 (x) = (х – а3)·f3 (x). Продолжая процесс выделения линейных множителей, дойдём до соотношения fn(x) = (х – а n )·fn, где fn — число (многочлен нулевой степени), и это число равно коэффициенту при хn, то есть fn = А0. На основании всех этих равенств можно записать

f (x) = А0·( х – а 1)·( х – а2)· … ·( х – аn)