050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине
Конспект лекций
(на правах рукописи)
Абакан
1. Конспект лекция разработан в соответствии с рабочей программой дисциплины ДПП. Ф. 06. Математика по специальности 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования
2. Разработчик: М. И. Якутова , кандидат педагогических наук, доцент
3. ПРИНЯТ на заседании кафедры педагогики и методики начального образования
24.06.2010, протокол № 10
Зав.кафедрой педагогики и методики начального образования _______________Т. А. Федорова
Утвержден Учебно-методическим советом и рекомендован к печати Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова»
Рецензенты: Доможакова О.В., кандидат педагогических наук
Математика: учебно-методический комплекс по дисциплине: конспект лекций / сост. М. И. Якутова. – Абакан, 2010.
Конспект лекций представляет собой составную часть учебно-методического комплекса по дисциплине «Математика». Данное пособие создано с учетом требований государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и среднего специального образования.
Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся по специальности 050708 – педагогика и методика начального образования, 050709 – преподавание в начальных классах, а также практикующим учителям начальных классов.
Конспект содержит 25 лекций.
© Хакасский государственный
университет им. Н. Ф. Катанова, 2010
© Якутова М. И., составление, 2010
Оглавление
Введение……………………………………………………………………………………...6
Лекция 1. Понятие множества ……………………………………………………………10
Лекция 2. Операции с множествами………………………………………………………12
Лекция 3. Операции с множествами………………………………………………………14
Лекция 4. Число элементов множеств ……………………………………………………19
Лекция 5. Математические понятия……………………………………………………….21
Лекция 6. Высказывания и высказывательные формы ……………………………… …25
Лекция 7. Высказывания с кванторами …………………………………………………..30
Лекция 8. Теоремы …………………………………………………………………………33
Лекция 9. Математическое доказательство ………………………………………………37
Лекция 10. Способы математического доказательства…………………………………..41
Лекция 11. Текстовая задача и процесс ее решения…………………………………….43
Лекция 12. Текстовая задача и процесс ее решения…………………………………….56
Лекция 13. Комбинаторные задачи и их решение……………………………………….70
Лекция 14. Алгоритмы и их свойства…………………………………………………….74
Лекция 15. Понятие вероятности…………………………………………………………83
Лекция 16. Соответствия………………………………………………………………….91
Лекция17. Взаимно-однозначные соответствия…………………………………………96
Лекция 18. Числовые функции…………………………………………………………..100
Лекция 19. Прямая и обратная пропорциональность………………………………..105
Лекция 20. Отношения на множестве…………………………………………………...112
Лекция 21. Свойства отношений…………………………………………………………115
Лекция 22. Отношения эквивалентности и порядка на множестве……………………121
Лекция 23. Алгебраические операции на множестве…………………………………………..126
Лекция 24. Выражения……………………………………………………………………135
Лекция 25. Равенства и неравенства………………………………………………………140
Лекция 26. Уравнения с одной переменной……………………………………………..142
Лекция 27. Неравенства с одной переменной……………………………………………147
Лекция 28. Уравнения с двумя переменными……………………………………………152
Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной……………….154
Лекция 30. Неравенства с двумя переменными………………………………………….156
Лекция 31. Аксиоматический метод построения теории в математике…………157
Лекция 32. Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел………………………………………………………………………………………...160
Лекция 33. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел …………………….168
Лекция 34. Свойства множества целых неотрицательных чисел……………………….174
Лекция 35. Метод математической индукции……………………………………………176
Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел…………………………………………………………………..178
Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел…………………………………………………………………..181
Лекция 37. Произведение и частное целых неотрицательных чисел …………………186
Лекция 38. Натуральное число как результат измерения величины…………………..191
Лекция 39. Натуральное число как результат измерения величины…………………..197
Лекция 40. Системы счисления. Десятичная система счисления………………………204
Лекция 41. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления…………………………………………………………..211
Лекция 42. Системы счисления, отличные от десятичной……………………………..221
Лекция 43. Системы счисления, отличные от десятичной……………………………..224
Лекция 44. Делимость целых неотрицательных чисел…………………………………227
Лекция 45. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель чисел……..232
Лекция 46. Простые и составные числа………………………………………………..235
Лекция 47. Алгоритмы нахожденияНОД и НОК……………………………………….238
Лекция 48. О расширении множества целых неотрицательных чисел. Целые числа…240
Лекция 49. Положительные рациональные числа……………………………………….252
Лекция 50. Десятичные дроби ……………………………………………………………260
Лекция 51. Действительные числа……………………………………………………….264
Лекция 52. Система геометрических понятий, изучаемых в школе……………………268
Лекция 53. Свойства геометрических фигур на плоскости……………………………..273
Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости……………………………..275
Лекция 55. Построение геометрических фигур …………………………………………280
Лекция 56. Изображение пространственных фигур……………………………………..286
Лекция 57. Геометрические величины……………………………………………………292
Лекция 58. Геометрические величины……………………………………………………295
Лекция 59. Геометрические величины: масса, время……………………………………301
Лекция 60. Геометрические величины: связь величин…………………………………..308
Заключение………………………………………………………………………………….311
Список литературы …………………………………………………………………………312
Введение
Данный курс предназначен студентам факультетов и отделений начальных классов педагогических вузов и колледжей, а также учителям начальных классов. Актуальность и социальная значимостькурса обосновываются необходимостью решения задач обучения, воспитания и развития младших школьников, что предполагает повышение уровня фундаментальной математической подготовки учителя начальных классов, основой которой являются прочные знания научных основ начального курса математики. Данный курс ставит задачу усиления прикладной и профессиональной направленности подготовки учителя. Современный учитель – это учитель-исследователь, постоянно осваивающий новые технологии, новые подходы к введению тех или иных математических понятий. Современный учитель должен уметь грамотно и четко излагать мысли, аргументировать выводы, применять методы математической статистики в педагогических исследованиях. Развитие математической культуры учителя предполагает знание им места и роли математики в современном образовании.
В предлагаемом курсе отдельные темы изложены с учетом принципа «строгости», а отдельные темы на уровне разъяснения (в соответствии с интуитивным пониманием). Это объясняется невозможностью изложить строго логически значительное количество понятий, которые включаются в курс математики на педагогическом факультете вуза.
Важно сформировать у студентов научное мировоззрение, показать взаимосвязь наук, рассмотреть происхождение математических понятий из потребностей практики, наполнить абстрактные понятия конкретным содержанием.
Прикладная направленность курса математики заключается в решении следующих задач:
- привить студентам навыки применения математического аппарата к решению задач, возникающих при изучении дисциплин профессиональной подготовки (информатики, экономики, изобразительного искусства, музыкального образования, технологии и др.);
- помочь развитию способностей студентов, формированию умений и навыков общего характера (вычислительных, измерительных, графических), овладению общенаучными методами (моделирование, наблюдение, эксперимент, сбор, обработка и классификация данных);
- выработать у студентов навыки самостоятельного приобретения знаний, умение работать со справочным материалом;
- активизировать использование студентами приемов логического мышления (анализ, синтез, аналогию, обобщение и др.);
- развить творческое мышление студентов, которое является одним из обязательных качеств гармонически развитой личности;
- сформировать научное мировоззрение студентов.
Курс лекций сопровождается иллюстрирующим материалом, решением математических задач. Это потребовало сделать изложение некоторых теоретических положений довольно кратким, без доказательств, строгих, но длинных. Например, изучение некоторых геометрических понятий представлено без доказательства многих теорем, доказанных в средней школе. Знание геометрического материала обобщается, иллюстрируется. Вместе с тем те вопросы, которые не изучались в средней школе, изложены тщательно, например, теория множеств, математическая логика.
Такие традиционные темы как «Рациональные вычисления», равенства и неравенства, функции, знакомы студентам, поэтому они лишь расширены.
Одна из важнейших задач начального курса математики – формирование у детей умения решать текстовые задачи. Этот раздел включен в курс лекций и его изучение направлено на овладение умениями решать нестандартные текстовые задачи. Тема «Нестандартные текстовые задачи» призвана усилить профессиональную подготовку будущих учителей.
Учитель должен получить знание о способах изучения математических понятий в начальной школе, поэтому в данном курсе рассматриваются вопросы, непосредственно примыкающие к курсу математики начальной школы, на более высокой логической основе.
В главе «Элементы логики» описаны особенности математических понятий, предложений и доказательств, обращается внимание на изучение разных по содержанию понятий и предложений, но имеющих одинаковую логическую структуру.
В лекциях представлены современные подходы к введению множества натуральных чисел и нуля: аксиоматический, теоретико-множественный, натуральное число как мера величины, современные подходы.
В главе «Элементы алгебры» раскрыты понятия соответствия, отношения, алгебраической операции, математического выражения, равенства и неравенства, уравнения. В главе «Геометрические фигуры» рассматриваются свойства фигур, их преобразование, этапы решения задач на построение, содержатся определения и свойства геометрических величин. Изучение величин продиктовано практическими потребностями человека, однако они рассматриваются в соответствии с математическими законами, что способствует увидеть их сходство (общие свойства) и различие (различные свойства).
Главной особенностью данного курса является его профессиональная направленность. Эта направленность заложена в отборе материала, в уровне его изложения.
Материал разбит на главы, главы – на параграфы, параграфы – на пункты. Каждая лекция строится так: рассматривается значимость материала в жизни и дальнейшем обучении, излагаются теоретические положения, формулируются выводы.
При подготовке к занятиям необходимо опираться на материалы учебников начального курса математики М. И. Моро, М. А. Бантовой, А. А. Аргинской, В. Н. Рудницкой и др. Курс написан с учетом реализации принципа преемственности с курсом математики, изучаемым в средней школе и курсом методики преподавания математики, изучаемым в вузе. Его содержание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 050708 (031200) – педагогика и методика начального образования.
Цель изучения курса: обеспечить студентам факультетов начальных классов необходимую подготовку для успешного обучения и воспитания младших школьников.
Задачами курса математики в вузе являются:
раскрыть студентам мировоззренческое значение математики, углубить их представление о роли и месте математики в изучении окружающего мира;
дать студентам необходимые математические знания, на основе которых строится начальный курс математики, сформировать умения для глубокого овладения его содержанием;
способствовать развитию мышления;
развивать умения самостоятельной работы с учебными пособиями и другой математической литературой.
Изучение литературы по теме следует начинать с общих работ, чтобы иметь представление об основных вопросах избранной темы. Статью или книгу нужно читать с карандашом в руках, делая выписки. Работу с литературой желательно вести по этапам:
Общее ознакомление с произведением в целом;
Беглый просмотр всего содержания;
Чтение в порядке последовательности всего материала;
Выборочное чтение какой-либо части произведения;
Выписка представляющих интерес материалов; критическая оценка записанного, его редактирование и «чистовая запись» как фрагмент будущей работы.
При изучении и конспектировании литературы следует обращать внимание на основные теоретические положения и методические подходы к их реализации. Используется не вся информация, а только та, которая имеет отношение к изучаемой теме. Положения, взятые из литературных источников лучше не цитировать, а излагать своими словами, сохраняя при этом смысловую идею. Обязательно надо указывать фамилию, инициалы автора, ссылку на произведение (в скобках). Для этого, необходимо правильно оформлять выписки из текста, чтобы в дальнейшем ими легко было пользоваться. Избегайте простого изложения и констатации фактов. Стремитесь определить и выразить свою точку зрения на высказывания авторов.
- 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- Глава I. Элементы логики
- § 1. Множества и операции над ними
- 1. Понятие множества и элемента множества
- 2. Способы задания множеств
- 3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- 4. Пересечение множеств
- 5. Объединение множеств
- 6. Свойства пересечения и объединения множеств
- 7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- 8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- 9. Декартово произведение множеств
- 10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- 11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- 12. Основные понятия:
- § 2. Математические понятия
- 3. Способы определения понятий
- 4. Основные выводы
- § 3. Математические предложения
- § 4. Математическое доказательство
- 26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- §5. Текстовая задача и процесс ее решения
- 29. Структура текстовой задачи
- 30. Методы и способы решения текстовых задач
- 31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- 2. Поиск и составление плана решения задачи
- 3. Осуществление плана решения задачи
- 4. Проверка решения задачи
- 5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Упражнения
- 32. Решение задач «на части»
- Упражнения
- 33. Решение задач на движение
- Упражнения
- 34. Основные выводы.
- §6. Комбинаторные задачи и их решение
- § 7. Алгоритмы и их свойства
- Упражнения
- Упражнения
- Глава II. Элементы алгебры
- § 8. Соответствия между двумя множествами
- 41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- 2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- 3. Взаимно-однозначные соответствия
- Упражнения
- 42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- 2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- Упражнения
- 43. Основные выводы § 8
- § 9. Числовые функции
- 44. Понятие функции. Способы задания функций
- 2. График функции. Свойство монотонности функции
- Упражнения
- 45. Прямая и обратная пропорциональности
- Упражнения
- 46. Основные выводы § 9
- §10. Отношения на множестве
- 47. Понятие отношения на множестве
- Упражнения
- 48. Свойства отношений
- R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- 49. Отношения эквивалентности и порядка
- Упражнения
- 50. Основные выводы § 10
- § 11. Алгебраические операции на множестве
- 51. Понятие алгебраической операции
- Упражнения
- 52. Свойства алгебраических операций
- Упражнения
- 53. Основные выводы § 11
- § 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- 54. Выражения и их тождественные преобразования
- Упражнения
- 55. Числовые равенства и неравенства
- Упражнения
- 56. Уравнения с одной переменной
- 2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- 3. Решение уравнений с одной переменной
- Упражнения
- 57. Неравенства с одной переменной
- 2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- 3. Решение неравенств с одной переменной
- Упражнения
- 58. Основные выводы § 12
- Упражнения
- Глава III. Натуральные числа и нуль
- § 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- § 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- 59. Об аксиоматическом способе построения теории
- Упражнения
- 60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- Упражнения
- 61. Сложение
- 62. Умножение
- 63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- Упражнения
- 64. Вычитание
- Упражнения
- 65. Деление
- 66. Множество целых неотрицательных чисел
- Упражнения
- 67. Метод математической индукции
- Упражнения
- 68. Количественные натуральные числа. Счет
- Упражнения
- 69. Основные выводы § 14
- 70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- Упражнения
- Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- 71. Теоретико-множественный смысл суммы
- Упражнения
- 72. Теоретико-множественный смысл разности
- Упражнения
- 73. Теоретико-множественный смысл произведения
- Упражнения
- 74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- Упражнения
- 75. Основные выводы § 15
- §16. Натуральное число как мера величины
- 76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- Упражнения
- 77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- Упражнения
- 78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- 79. Основные выводы § 16
- 80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- 81. Запись числа в десятичной системе счисления
- Упражнения
- 82. Алгоритм сложения
- Упражнения
- 83. Алгоритм вычитания
- Упражнения
- 84. Алгоритм умножения
- Упражнения
- 85. Алгоритм деления
- 86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- 87. Основные выводы § 17
- § 18. Делимость натуральных чисел
- 88. Отношение делимости и его свойства
- 89. Признаки делимости
- 90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- 2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- 3. Признак делимости на составное число
- Упражнения
- 91. Простые числа
- 92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- 93. Основные выводы § 18
- 3. Дистрибутивности:
- § 19. О расширении множества натуральных чисел
- 94. Понятие дроби
- Упражнения
- 95. Положительные рациональные числа
- 96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- 97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- 98. Действительные числа
- 99. Основные выводы § 19
- Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- § 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- 1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- 2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- 3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- § 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- § 22. Построение геометрических фигур
- 1. Элементарные задачи на построение
- 2. Этапы решения задачи на построение
- Упражнения
- 3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- Основные выводы
- §24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- 1. Свойства параллельного проектирования
- 2. Многогранники и их изображение
- Тетраэдр Куб Октаэдр
- Упражнения
- 3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- Основные выводы
- § 25. Геометрические величины
- 1. Длина отрезка и ее измерение
- 1) Равные отрезки имеют равные длины;
- 2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- Упражнения
- 2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- 1) Равные углы имеют равные величины;
- 2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- Упражнения
- 1) Равные фигуры имеют равные площади;
- 2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- 4. Площадь многоугольника
- 5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- Упражнения
- Основные выводы
- 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- 1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- 2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- Заключение
- Список литературы