98. Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деле­ние натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, на­пример, как могут получиться десятичные дроби при измерении дли­ны отрезка.

Пусть х- отрезок, длину которого надо измерить,е- единичный отрезок. Длину отрезках обозначим буквойX, а длину отрезкае- буквойЕ. Пусть отрезокхсостоит изnотрезков, равныхе₁ и отрезках₁, который короче отрезкае(рис. 130), т.е.n∙Е<X< (n+ 1) ∙Е. Числаnиn+ 1 есть приближенные значения длины от­резкахпри единице длиныЕс недос­татком и с избытком с точностью до 1.

Рис. 130

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е₁ - деся­тую часть отрезка е и будем уклады­вать его в отрезкех₁. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁уложился в отрезкех₁ точноnраз. Тогда длинаnот­резкахвыражается конечной десятичной дробью:X= (n + n₁\10)∙Е= n, n₁∙Е. Например,X= 3,4∙Е.

2) Отрезок х₁ оказывается состоящим изnотрезков, равныхе₁, и отрезках₂, который короче отрезкае₁. Тогдаn, n₁∙Е<X<n, n₁ n₁′∙Е, гдеn, n₁ и n, n₁ n₁′- приближенные значения длины отрезкахс не­достатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезоке₂- сотую часть отрезкае.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка бу­дет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1)Наk-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина от­резках выразится конечной десятичной дробью видаn, n₁…nk.

2) Описанный процесс измерения длины отрезка хпродолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символомn, n₁…nk..., который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого доста­точно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5. Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5можно представить в виде конечной десятичной дро­би, что невозможно: 5= 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконеч­ные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? От­вет на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины кото­рых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. по­ложительным рациональным числом) при выбранной единице дли­ны. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадра­та, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСВ выражается несократимой дро­бью. Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

1²+ 1² =. Из него следует, чтоm² = 2n². Значит,m²- четное число, тогда и числоm- четно (квадрат нечетного числа не может быть чет­ным). Итак,m= 2р. Заменив в равенствеm² = 2n²числоmна 2р, получаем, что 4р²=2n², т.е. 2р²=n². Отсюда следует, чтоn²четно, сле­довательно,n- четное число. Таким образом, числаmиnчетны, значит, дробьможно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной едини­це длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональныхчисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа че­рез процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так √2 ,√7, √24 - это иррациональное числа. Иррациональными являются такжеlg5,sin31, числаπ=3,14...,е= 2,7828... и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Рис. 131

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+. Таким обра­зом,Q+∪J+ =R+. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131.

Любое положительное действительное чис­ло может быть представлено бесконечной деся­тичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сво­дятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умно­жения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выра­зить результат измерения любой скалярной величины: длины, пло­щади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, умень­шаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изме­нение величины, кроме положительных действительных чисел нуж­ны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество Rвсех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняют­ся по правилам, известным нам из школьного курса математики.

Упражнения

1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

3. Дано множество: {7; 8;√8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136}.

Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?