logo
Курс лекций по математике

5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение

Пусть F - произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия: сущест­вуют многоугольные фигуры, которые содер­жат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих мно­гоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке показано, что фигу­ра Q содержит фигуру F , т.е. Q - объемлющая фигура, а фигура Р содержится в F, т.е. Р - входящая фигура. На теоретико-множествен­ном языке это означает, что

Р ⊂ F ⊂Q следовательно, можно записать, что S(Р)≦ S(F) ≦ S(Q).

Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует един­ственное число S(F), удовлетворяющее неравенству S(Р)≦ S(F) ≦ S(Q) для любых многоугольных фигур Р и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.

Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг радиуса r вписы­вают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают пра­вильный n- угольник Q. Если обозначить символами S(Q) и S(Р)пло­щади этих многоугольников, то будем иметь, что S(Р)≦ S(F) ≦ S(Q), причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных много­угольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оста­ваться больше площади круга.

Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрас­тании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 2πr, а площадь - к площади круга. Поэтому S = •2πr • r = πr2.

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.

Палетка -это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые цели­ком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру F; квадра­ты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F

образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(Р) и S(Q) находят про­стым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры F принимается сред­нее арифметическое найденных площадей:S(F) = (S(Р) + S(Q))/2.

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палет­ки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять па­летку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: нало­жить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметиче­ское может быть лучшим приближением к численному значению пло­щади фигуры F.