74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная

а-Ь = с

а- с:г)

и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а b = с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с : b и с : а.

Произведение а  b = с с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е.

а b = n(А₁ А₂ ... Аb), где n(А₁) = n(А₂)=…= n(Аb). Так как множества попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество - назовем его А, - в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А₂, ..., Аb. Тогда частное с: а - это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с :b - число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.

Мы установили, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в ка­ждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b - число элементов в каждом подмножестве, то частное а:b - это число таких подмножеств;

b - число подмножеств, то частное а:b- это число элементов в каж­дом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложи­ли в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требует­ся узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления – 12 :3. Вы­числив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи -в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобит­ся'?», - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на под­множества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать чис­ло таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос зада­чи - понадобится 4 коробки.

Используя теоретико-множественный подход к действиям над целы­ми неотрицательными числами, можно дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число: если частные а:с и b:с существуют, то (а + b):с = а:с + b:с. Пусть а = п{А) и b = п(В), причем А  В = . Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а: с подмножеств, а множество В - из b: с подмножеств, то А  В состоит из а:с + b:с подмножеств. Это и значит, что (а + b ):с =а:с + b:с.

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассмат­ривается как число равночисленных подмножеств в разбиении мно­жеств А и В.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если а:b = с, то можно говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а = п(А), b = п(В) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству А.

Так как с - это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с = b :а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что п(А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. п(В).

Рис. 116

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (рис. 116). Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3 + 3 или 32 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное числоbс остатком - ото значит найти такие натуральные целые неотрицательные числаq иr,чтоа=bq +r, где 0r<b.

Пусть а=n(А)и множество А разбито на множестваА₁, А₂, ... , Аq, R, так, что множестваА₁, А₂, ... , Аq равночисленны, а множествоRсодержит меньше элементов, чем каждое из множествА₁, А₂, ... , Аq. Тогда, еслиn(А₁)= n(А₂)=…= n(Аq) = b, аn(R) = r, где 0r<b, причем числоqравночисленных множеств является неполным част­ным при деленииа наb, а число элементов вR- остатком при этом делении.