67. Метод математической индукции

Метод доказательства, который основан на аксиоме 4 (с. 254) и который мы использовали при доказательстве свойств сложения и умножения, можно применять и для доказательства других утверждений о натуральных числах. Основой для этого служит следующая теорема.

Теорема 30. Если утверждение А(п) с натуральной переменной п истинно для п = 1 и из того, что оно истинно для п = к (к – произвольное натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа п = к‘ , то утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(п) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: 1) 1  М; 2) к  М => к'  М. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что М = N, т.е. утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Метод доказательства, основанный на этой теореме, называется методом математической индукции. Состоит оно из двух частей: 1) доказывают, что утверждение А(п) истинно для п = 1, т.е. что истинно высказывание А(1):

2) предполагают, что утверждение А(п) истинно для п = к, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(п) истинно и для п = к+1, т.е. что истинно высказывание А {к) => А (к + 1).

Если А(1) ^ А(к) => А(к + 1) - истинное высказывание, то делают вывод о том. что утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство методом математической индукции можно начинать не только с подтверждения истинности утверждения для п = 1, но и с любого натурального числа т. В этом случае утверждение А(п) будет доказано для всех натуральных чисел п ≥ т.

Приведем примеры доказательства утверждений методом математической индукции.

Пример 1. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1 + 3 + 5 + ... + (2п- 1) = п.

Пример 2. Докажем, что для любого натурального числа истинно утверждение:

(8ⁿ + 6) делится на 7.