6. Свойства пересечения и объединения множеств

Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняются и другие операции, например, умножение, вычитание, деление; при этом результаты называют произведением, разностью, частным соответственно. Для операций и результатов выполнения этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами и сама операция, и ее результат носят одно название.

Из школьного курса математики нам известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и bсправедливо равенство а +b=b+ а, а для любых чисел а,bи с справедливо равенство (а +b) + с = а + (b+ с).

Перечислим другие свойства:

а •b=b•а; (а•b)•с = а•(b•с); (а +b)•с = а • с + b•с.

Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.

Доказано, что операции над множествами обладают следующими свойствами:

1. А ∩ В = В∩ А и А∪ В = В∪ А – коммутативное свойство для операций пересечения и объединения.

2. (А ∩ В)∩ С = А∩ (В∩ С) и (А∪ В)∪ С = А∪ (В∪ С) ассоциативное свойство для операций пересечения и объединения.

3. (А ∪ В)∩ С = (А∩ С) ∪ (В∩ С)– пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств и

4. (А ∩ В)∪ С = (А∪ С) ∩(В∪ С) – объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств.

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, а также проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Заметим, что 1-3 свойства имеют аналоги во множестве действительных чисел, над которыми производят действия сложения и умножения. А вот аналога четвертому свойству нет. Действительно, равенство а • b+ с = (а +b)•(b+ с) – неверное.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:

А₁∩А₂∩…∩Аn= {х/х∈А₁ и х∈А₂ и … и х∈Аn},

А₁∪А₂∪…∪Аn= {х/х∈А₁ или х∈А₂ или… или х∈Аn}.

Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.

Лекция 3. Операции с множествами

План:

1. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального

2. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.

3. Декартово произведение множеств