47. Понятие отношения на множестве

Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями, т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X= {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множестваXможно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведенияХ хХ, поэтому об отношении «меньше», заданном на множествеX, можно сказать, что оно является подмножеством множестваХ хX.

Вообще бинарные отношения на множестве Xопределяют следующим способом:

Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, Pи др.

Если R- отношения на множествеX, то, согласно определению,RсXхX. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множестваXхX, то оно определяет на множестве X некоторое отношениеR.

Утверждение о том, что элементы хиунаходятся в отношенииR, можно записывать так: (х, у) €RилихRу. Последняя запись читается: «Элементхнаходится в отношенииRс элементому».

Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества X, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными - они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа.

Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множествеX = {2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множестваXизобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» — стрелкой (рис. 93).

На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение — «кратно». Граф этого от­ношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. 94). Отношение можно задать при помощи пред­ложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «мень­ше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «числоxменьше числау» и «числох кратно числуу». Некоторые такие предложения можно записывать, используя сим­волы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «x<у», «х :у». Отношение«х большеу на 3» можно записать в виде равенствах = у + 3 (илиx-у = 3).

Для отношения R, заданного на множествеX, всегда можно задать отношениеR^-1, ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Например, еслиR- отно­шение«х меньшеy», то обратным ему будет отношение «убольшеx».

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько каран­дашей у Бори?» - ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Борина 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что перефор­мулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».