logo
Курс лекций по математике

3. Решение уравнений с одной переменной

Решим уравнение 1- x/3 = x/6, x € R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования

Обоснование преобразования

  1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: (6-2х)/ 6 =х/6

Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения.

  1. Отбросим общий знаменатель: 6-2х=х

Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.

3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с проти­воположным знаком: 6 = х+2х.

Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.

4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х.

Выполнили тождественное пре­образование выражения.

5. Разделим обе части уравнения на 3: х= 2.

Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - ко­рень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х € R. Разделим обе части на х, получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Не­трудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 - 1) = 2·0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы поте­ряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравне­ния состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Пере­несем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Выне­сем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и толь­ко в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x= 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х·9 = 72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.