3. Шар, цилиндр, конус и их изображение

Шар - одна из простейших фигур, обладающая разнообразными свойствами. Некоторые из них были известны еще древнегреческим математикам.

Поверхность шара называется сферой. Определяются сфера и шар аналогично тому, как определяются окружность и круг на плоскости.

Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - ее радиусом.

Шаром называется множество точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем некоторого данного поло­жительного расстояния. Данная точка - это центр шара, а данное рас­стояние - радиус шара.

Заметим, что радиусом шара и сферы называют не только расстоя­ние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с точкой на сфере.

Диаметршара и сферы - это любой отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, а также длина этого отрезка.

Если шар пересечь плоскостью, проходящей через его центр, то пе­ресечением будет круг, радиус которого совпадает с радиусом шара. Этот круг называют большим кругом, а его окружность - большой ок­ружностью или экватором.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более наглядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость кото­рой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эл­липсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 170). Те­перь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикулярен плоскости экватора. Для этого через точку O проводим прямую, перпен­дикулярную АВ, и отмечаем точку С - пересече­ние этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касательную к эллипсу, изобра­жающему экватор. Доказано, что расстояние СМ равно расстоянию от центра шара до каж­дого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полюсы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса: строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диамет­ру (рис. 171). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плав­ной кривой. Эта кривая - эллипс, большой осью которого является отрезок АВ, а цент­ром - точка О.

Этот прием можно использовать, изображая на плоскости круговой цилиндр и круговой конус. Мы будем рассматривать только прямой

круговой цилиндр -геометрическое тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями от­резками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоско­стей, и перпендикулярных плоскостям оснований (рис.).

Радиусом цилиндра называется ра­диус окружности его основания. Вы­сотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Его осью называется прямая, проходящая через центры окружностей оснований.

Конусомназывается тело, образованное всеми отрезками, соеди­няющими данную точку - его вершину - с точками некоторого круга -основания конуса.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности ос­нования, называются его образующими.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром окружности основания, перпендикулярна основанию.

Высотой конуса называется расстояние от его вершины до осно­вания.

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эллипс - основание, затем нахо­дят центр основания - точку О и перпендикуляр­но проводят отрезок OS, который изображает высоту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это делают на глаз, прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SВ этих пря­мых от точки S до точек касания С и Д. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром осно­вания конуса (рис.).

Упражнения

1. Какая ошибка допуще­на при изображении шара на рисунке слева?

2. Является ли параллель­ной проекцией шара изобра­жение на рисунке справа?

3. Можно ли считать пра­вильными изображения кону­са на рисунке?