56. Уравнения с одной переменной

Возьмем два выражения с переменной: 4 х и 5 х + 2. Соединив их знаком равенства, получим предложение 4х = 5 х + 2. Оно содержит переменную и при подстановке значений переменной обращается в вы­сказывание. Например, при х = -2 предложение 4х = 5 х + 2 обращается в истинное числовое равенство 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2, а при х = 1 - в лож­ное 4·1 = 5·1 + 2. Поэтому предложение 4х = 5х + 2 есть высказывательная форма. Ее называют уравнением с одной переменной.

В общем виде уравнение с одной переменной можно определить так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(х) =g(х) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества X, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем урав­нения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти мно­жество его корней.

Так, корнем уравнения 4х = 5х + 2, если рассматривать его на мно­жестве R действительных чисел, является число -2. Других корней это уравнение не имеет. Значит множество его корней есть {-2}.

Пусть на множестве действительных чисел задано уравнение (х - 1)(х + 2) = 0. Оно имеет два корня - числа 1 и -2. Следовательно, множество корней данного уравнения таково: {-2,-1}.

Уравнение (3х + 1)-2 = 6 х + 2, заданное на множестве действи­тельных чисел, обращается в истинное числовое равенство при всех действительных значениях переменной х: если раскрыть скобки в левой части, то получим 6х + 2 = 6х + 2. В этом случае говорят, что его корнем является любое действительное число, а множеством корней множество всех действительных чисел.

Уравнение (3х + 1)·2 = 6 х + 1, заданное на множестве действи­тельных чисел, не обращается в истинное числовое равенство ни при одном действительном значении х: после раскрытия скобок в левой части получаем, что 6 х + 2 = 6х + 1, что невозможно ни при одном х. В этом случае говорят, что данное уравнение не имеет корней и что множество его корней пусто.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовыва­ют, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять пре­образовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продол­жают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями за­данного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.