81. Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел ис­пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа З 10³ + 7 10² + 410 + 5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, где коэффициенты a_n, a _{n-1, ….} , а_1, а_0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ± 0.

Сумму a_n ·10ⁿ + a_n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а₀ в краткой форме принято записывать так:

а_па_n-1 ...а₁а₀.

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существо­вание и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде:

х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, где коэффициенты a_n, a _{n-1, ….} , а_1, а_0, принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_п ± 0, и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10², 10³,..., 10",... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10 ⁿ < х < 10 ^{n +1}, что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10 ⁿ . Если частное этих чисел обо­значить через a_{n ,} а остаток через х_п, то х = a_n ·10ⁿ + х_п , где а_п < 10 и х_п < 10 ⁿ. Далее, разделив х_п на 10^n-1 , получим: х_п = a_n-1 ·10^n-1 + х_n-1 откуда х= a_n ·10ⁿ + a_n-1 ·10^n-1 + х_n-1

где a_n-1 < 10 и х_n-1 < 10^n-1. Про­должая деление, дойдем до равенства х₂ = а_1·10 + х_1. Положив х₁ = а₀, будем иметь х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, т.е. число х бу­дет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятич­ной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число п в равенстве (1) однозначно определя­ется условием 10 ⁿ < х < 10 ^{n +1}. После того как п определено, коэффици­ент а_п находят из условия: a_n ·10ⁿ < х < (а_п + 1) ·10ⁿ. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты a _{n-1, ….} , а_1, а₀.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у - натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0,

у = b_n ·10ⁿ + b _n-1 ·10^n-1 + ... +b_1·10 + b_0,

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п < т;

б)п = т,но а_п < b_п

в)п = т, а_п = b _п... ,а_к = b _к, но а _к-1., < b _к-1/

Доказательство не приводится.

Например, если х = 345, а у = 4678, то х < у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х < у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х = 3456, а у = 3467 , то х < у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в чис­ле х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х = a_n ·10ⁿ + a _n-1 ·10^n-1 + ... +а_1·10 + а_0, то числа 1, 10, 10², ..., 10 ⁿ называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., п + 1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следую­щего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют вто­рой класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллио­нов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Вы­деление классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это постигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия после­дующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде

1∙10 + а₀ образуются из соединения первых десяти названий и не­сколько измененного слова десять («дцать»): одиннадцать - один на десять, двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи.

Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 2∙10 + а₀ ) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: два­дцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пято­го, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. На­звания этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего де­сятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел первого и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести». Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся назва­ниями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их к слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по едини­це (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычис­лениях миллион принято записывать в виде 10⁶, миллиард - 10⁹. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10¹², квадриллион - 10¹⁵ и т.д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, де­вяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в началь­ном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000 + 700 + 40 + 5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.