58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

• числовое выражение;

• значение числового выражения;

• выражение, не имеющее смысла;

• выражение с переменной (переменными);

• область определения выражения;

• тождественно равные выражения;

• тождество;

• тождественное преобразование выражения;

• числовое равенство;

• числовое неравенство;

• уравнение с одной переменной;

• корень уравнения;

• что значит решить уравнение;

• равносильные уравнения;

• неравенство с одной переменной;

• решение неравенства;

• что значит решить неравенство;

• равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.

Лекция 28. Уравнения с двумя переменными

План:

1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.

2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.

3. Совокупности уравнений с двумя переменными.

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ f₂ (х) = g₂ (х)

Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.

Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравне­ние f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — мно­жеством решений этого уравнения.

Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.

Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство

1 +2  5 = 12. Следо­вательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.

Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в вер­ное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множе­ство Т решений этого уравнения можно записать так:

Т= {(12-2у, у) | у R}.