Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину , которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. В последнем выражении – – выборочное среднее, – исправленное среднее квадратическое отклонение, – объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид:

,

где некоторая постоянная, выражающаяся через гамма–функции. Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров . Поскольку – четная функция от t , то вероятность выполнения неравенства определяется следующим образом:

.

Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала:

Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметр a с надежностью . По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти , и, используя найденные по выборке и , можно определить доверительный интервал.

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены генеральное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение . Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.

Решение. Найдем по таблице распределения Стьюдента, используя значения . Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:

.

То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале .

Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.