Геометрическое распределение

Рассмотрим серию независимых испытаний, в ходе которых появлялось событие с вероятностью , одинаковой для всех испытаний. Испытания в каждой серии проводились до появления события и заканчивались, как только событие происходило. Обозначим через число испытаний, которые нужно провести до появления «успеха». Очевидно, что возможными значениями дискретной случайной величины являются натуральные числа . Пусть событие наступило после безуспешных испытаний, т.е. . Вероятность этого события по теореме умножения вероятностей равна .

Полученный закон распределения дискретной случайной величины называют геометрическим, поскольку – формула расчета -го члена геометрической прогрессии, с первым членом и знаменателем ( ). Несложно убедиться в том, что выполняется условие нормировки:

Случайная величина называется распределенной по закону геометрической прогрессии с параметром , если может принимать значения , соответствующая вероятность которых определяется по формуле: , где .

Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром :

Примерно так же находится и дисперсия .