Локальная теорема Муавра–Лапласа

Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности появления события точно раз, при условии, что достаточно велико.

Теорема. Пусть – вероятность события , причем . Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие при испытаниях появится точно раз, выражается приближенной формулой Лапласа:

где ; .

Доказательство. В статистическом смысле представляет собой среднее значение появлений события при испытаниях; таким образом, есть отклонение числа появлений события от его среднего значения. Что касается среднеквадратичного отклонения , то его теоретико-вероятностный смысл будет выяснен позднее. Рассматривая как некий масштаб для отклонений при испытаниях, число можно наглядно представить себе как отклонение числа появлений события от его среднего значения, измеренного в этом масштабе. Очевидно, что число ограничено.

Аналогично из определения несложно показать, что:

Исходя из полученных выражений, можно сделать вывод, что если и , то и .

;

.

Поскольку , и , то можно воспользоваться формулой Стирлинга для вычисления приближенного значения факториалов этих величин:

.

.

При достаточно большом _:

Далее можно применить разложение в ряд функции :

.

Тогда:

;

;

.

Что и требовалось доказать.

Если ввести функцию:

,

то формула Лапласа приобретает вид:

.

Так как функция монотонно убывает при , то для одной и той же серии испытаний ( – фиксировано), чем больше значение отклонения _, тем меньше его вероятность. Это утверждение справедливо только для больших , поскольку формула Лапласа была получена только при этом предположении.

Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при . Вообще, асимптотическим приближением функции называют функцию _, если .

Заметим, что для частного случая, а именно для асимптотическая формула была найдена в 1730 году Муавром; в 1783 году Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного , отличного от 0 и 1. Поэтому эту теорему называют теоремой Муавра-Лапласа.