Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины. В основе доказательств этих теорем лежит неравенство Чебышева. Это неравенство можно получить, рассматривая дискретную случайную величину, имеющую возможных значений .

Дисперсия такой величины .

Пусть – любое положительное число. Исключим из суммы все члены, для которых .

В этом случае сумма уменьшится: , где .

Если теперь в правой части этого неравенства все значения заменить на меньшее значение , то неравенство усилится: .

В этом неравенстве – это вероятности таких значений , для которых , а вся сумма представляет собой вероятность того, что случайная величина , т.е.:

Отсюда следует неравенство Чебышева:

,

которое позволяет оценить вероятность того, что .

Замечание. Если рассмотреть противоположное событие , то вероятность такого события .

Это неравенство используется, в частности, для доказательства теоремы Чебышева.

Теорема. Пусть имеется конечная последовательность независимых случайных величин, с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной :

.

Тогда, каково бы ни было число , вероятность события

стремится к единице при .

Доказательство. Положим .

Эта величина является случайным числом. Найдем ее математическое ожидание и дисперсию:

.

Так как независимы, то дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Из неравенства Чебышева с учетом сделанных обозначений, т.е. , получаем .

Отсюда следует, что с ростом вероятность события стремится к единице.

Теорема Чебышева устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченным множеством значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.