Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Предположим, что в условиях схемы Бернулли проводится испытаний, в результате каждого из которых с вероятностью ( ) происходит событие . Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событие появится не менее раз и не более раз. С ростом количества испытаний числа и растут, а вероятность постоянна.

Теорема. Если вероятность события в каждом испытании постоянна и отлична как от нуля, так и от единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

,

где , .

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятности для несовместных событий:

.

Отсюда, используя локальную теорему Лапласа:

,

где ( ); .

Поскольку ,

следовательно .

Причем, эта сумма является интегральной для функции на отрезке , так как при , т.е. при , ее предел равен соответствующему определенному интегралу:

,

где , а ,

что и требовалось доказать.

Введем стандартный интеграл Лапласа (функцию Лапласа):

,

который, очевидно, является первообразной функции Гаусса:

.

Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать

.

Значения функций и обычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений , поскольку – четная функция, а – нечетная. Из таблиц видно, что при значения практически не отличаются от 0.5, поэтому далее табуляция, как правило, не ведется.

Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: – неизвестно, , , . Тогда:

Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Точность формул Муавра–Лапласа сильно зависит от соотношения величин и : она существенно увеличивается с ростом произведения . Обычно этими формулами пользуются, когда . Однако, в случае близости одной из величин или к нулю (другая в это время мало отличается от единицы) возникает необходимость в значительном увеличении числа испытаний .

Схема Пуассона. Поток событий

С увеличением чаще всего используют схему Пуассона. Эта схема является предельным случаем схемы Бернулли, в котором предполагается, что вероятность события не является постоянной, а зависит от числа испытаний таким образом, что величина остается постоянной. В этом случае оценка вероятности того, что событие наступит раз, определяется предельной теоремой Пуассона.