Распределение 2

Пусть имеется n независимых случайных величин ₁, ₂, ..., _n, распределенных по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Тогда случайная величина распределена по закону, который называется «распределение ²» или «распределение Пирсона». Очевидно, что она может принимать лишь неотрицательные значения. Число n называется числом степеней свободы.

При n>1 график плотности распределения случайной величины ² представляет собой кривую, изображенную на рисунке 1.

Для того, чтобы определить вероятность попадания случайной величины ² в какой-либо промежуток из множества положительных чисел, пользуются таблицей распределения ².

Таблица 1

Обычно такая таблица позволяет по вероятности q и по числу степеней свободы n определить так называемый квантиль _q², если q и _q² связаны соотношением:

P(² > _q²) = q.

Эта формула означает вероятность того, что случайная величина ² примет значение, большее, чем определенное значение _q², равна q.

Таблица 1 представляет собой фрагмент таблицы распределения ². Из него видно, что случайная величина ² с 10-ю степенями свободы с вероятностью q=0,95 принимает значение, большее 3,94, а та же величина с одной степенью свободы с вероятностью q=0,975 превышает 0,00098.

Задача. Найти интервал (₁², ₂²), в который случайная величина ² с 10-ю степенями свободы попадает с вероятностью, равной 0,9.

Решение. График плотности распределения ² с 10-ю степенями свободы схематично изображен на рисунке 2. Будем считать, что площади заштрихованных областей (правая область не ограничена справа) равны между собой. Примем условия:

P(² < ₁²) = P(² > ₂²) = (1 - 0,9)/2 = 0,05, (1)

тогда P(₁² < ² < ₂²) = 0,9.

Равенства (1) сразу позволяют по таблице определить: ₂² = 18,3. Для определения левой границы интересующего нас интервала придется воспользоваться очевидным равенством P(²>₁²)=0,95. Из таблицы 1. определяем: ₁²=3,94 , и теперь можно сформулировать ответ задачи: значение случайной величины ² с вероятностью 0,9 принадлежит интервалу (3,94; 18,3).