Надежность и доверительный интервал

До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В связи с этим при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, определяющуюся двумя числами – концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Очевидно, тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число  характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству , можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается заранее, причем, в качестве  берут число, близкое к единице – как правило, 0,95; 0,99 или 0,999.

Пусть вероятность того, что равна :

.

Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством .

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Таким образом, доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .