Формула умножения вероятностей

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

.

Доказательство: Предположим, что из возможных элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, из которых исходов благоприятствуют событию . Тогда вероятность события будет , условная вероятность события относительно события будет .

Произведению событий и благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию , и событию одновременно, т.е. исходов. Поэтому вероятность произведения событий и .

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на , получим:

.

Аналогично доказывается и формула .

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.