Формула полной вероятности. Формула Байеса

Предположим, что событие может произойти только с одним из несовместных событий . Например, в магазин поступает одна и та же продукция от трех предприятий и в разном количестве. Вероятность выпуска некачественной продукции на этих предприятиях различна. Случайным образом отбирается одно из изделий. Требуется определить вероятность того, что это изделие некачественное (событие ). Здесь события – это выбор изделия из продукции соответствующего предприятия.

В этом случае вероятность события можно рассматривать как сумму произведений событий .

По теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем . Используя теорему умножения вероятностей, находим:

.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий , вероятности которых ( ) известны до опыта (вероятности априори). Производится опыт, в результате которого зарегистрировано появление события , причем известно, что это событие имело определенные условные вероятности ( ). Требуется найти вероятности событий , если известно, что событие произошло (вероятности апостериори).

Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицающие появление события . Вообще, проблема состоит в том, что, имея новую информацию, нужно переоценить вероятности событий .

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий:

,

откуда:

или

.

Полученная формула носит название формулы Байеса.