Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения  нормального распределения

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение  по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр  с заданной надежностью .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение:

или .

Преобразуем двойное неравенство в равносильное неравенство и обозначим /s=q. Имеем:

(A)

и необходимо найти q. С этой целью введем в рассмотрение случайную величину .

Оказывается, величина распределена по закону с n–1 степенями свободы. Плотность распределения  имеет вид:

Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n.

Преобразуем неравенство (A) так, чтобы оно приняло вид . Вероятность этого неравенства равна заданной вероятности , т.е. .

Предполагая, что q<1, перепишем (A) в виде:

,

далее, умножим все члены неравенства на :

или .

Вероятность того, что это неравенство, а также равносильное ему неравенство (A) будет справедливо, равна:

.

Из этого уравнения можно по заданным найти , используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке и найдя по таблице , получим искомый интервал (A1), покрывающий  с заданной надежностью .

Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=0.8. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью 0,95.

Решение. Используя заданные значения , по таблице находим значение q=0.32. Искомый доверительный интервал есть:

.

Необходимо сделать замечание. Мы предполагали, что q<1. Если это не так, то мы придем к соотношениям:

.

Следовательно, значение q >1 может быть найдено из уравнения: