Свойства функции Гаусса

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса.

Проведем исследование функции:

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, что функция определена на всей оси .

2. При всех значениях функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена над осью .

3. Ось служит горизонтальной асимптотой графика, поскольку . Других асимптот у графика нет.

4. При функция имеет максимум, равный .

5. Функция четная: ее график симметричен относительно прямой .

6. П ри график функции имеет точки перегиба.

Изменение величины математического ожидания, т.е. параметра , ведет к сдвигу кривой вдоль оси без изменения ее формы. График ведет себя иначе, если изменяется среднее квадратичное отклонение (параметр ): с возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси ; при убывании нормальная кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси . Но при любых значениях параметров и , согласно условию нормировки функции плотности распределения, площадь, ограниченная нормальной кривой и осью остается равной единице.