Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины

Непрерывную двумерную случайную величину, которая описывается непрерывной совместной функцией распределения , имеющей непрерывные (за исключением, быть может, конечного числа точек), частные производные второго порядка, можно задать, пользуясь плотностью распределения.

Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины ( , ) – это вторая смешанная частная производная от функции распределения :

.

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле:

что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины ( , ).

Плотность совместного распределения вероятностей можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (с вершиной в точке и сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны этого прямоугольника стремятся к нулю.

Действительно, вероятность попадания случайной точки ( , ) в прямоугольник с вершинами , , и равна:

Применив к правой части теорему Лагранжа, получим:

где ; . Отсюда:

.

Приняв во внимание, что – площадь рассматриваемого прямоугольника, можно сделать вывод, что – это отношение вероятности попадания случайной точки в рассматриваемый прямоугольник к площади этого прямоугольника. Если перейти к пределу при и , то и и, следовательно, . Аналогично вероятности для дискретной случайной величины, плотность распределения вероятности для непрерывных величин можно представить в виде:

.