5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем эта реальность.
Ранее мы установили, что текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить ее математическую модель.
Вообще, математическая модель - это описание какого-либо реального процесса на математическом языке.
Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.
В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:
I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними;
II этап – внутримодельное решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);
III этап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.
Проиллюстрируем сказанное на примере решения алгебраическим методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?»
Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из первого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х - 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно записать, что 2х - 3 = х + 7. Получили уравнение - это математическая модель данной задачи.
Следующий этап - решение полученного уравнения вне зависимости от того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую - не содержащие х, причем у переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х – х = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.
Последний, третий этап - используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом - 20 (10-2 = 20).
Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. I этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.
Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от одного уровня моделирования к другому, более обобщенному, что решение задачи человеком есть процесс ее переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах. Главным средством переформулирования является моделирование.
Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект.
Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем.
Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.
Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.), они могут быть представлены разного рода инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.
Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:
рисунок;
условный рисунок;
чертеж;
схематичный чертеж (или просто схема).
Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»
Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид (рис. 40).
Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежах инструментов с соблюдением заданных отношений (рис. 42).
Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем указываются все данные и искомые (рис. 43).
Рис. 43
Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:
Л. - 4 д.
В. - ?, на 3 д. больше, чем Л.
Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Пример такой таблицы см. на с. 113.
Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и злаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.
Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования.
Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой - построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.
Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.
Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты - это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что:
В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором.
Из первого вагона вышли 3 пассажира.
Во второй вошли 7 пассажиров.
В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну. В задаче два требования:
1) Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне?
2) Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне? Построим графическую модель данной задачи в виде схематического чертежа (рис. 44).
По схеме сразу видно, что математическая модель данной задачи имеет вид:
7 + 3 - это число пассажиров во II вагоне, а
(7 + 3)2 - это число пассажиров в 1 вагоне.
Рис. 44
- 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- Глава I. Элементы логики
- § 1. Множества и операции над ними
- 1. Понятие множества и элемента множества
- 2. Способы задания множеств
- 3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- 4. Пересечение множеств
- 5. Объединение множеств
- 6. Свойства пересечения и объединения множеств
- 7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- 8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- 9. Декартово произведение множеств
- 10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- 11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- 12. Основные понятия:
- § 2. Математические понятия
- 3. Способы определения понятий
- 4. Основные выводы
- § 3. Математические предложения
- § 4. Математическое доказательство
- 26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- §5. Текстовая задача и процесс ее решения
- 29. Структура текстовой задачи
- 30. Методы и способы решения текстовых задач
- 31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- 2. Поиск и составление плана решения задачи
- 3. Осуществление плана решения задачи
- 4. Проверка решения задачи
- 5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Упражнения
- 32. Решение задач «на части»
- Упражнения
- 33. Решение задач на движение
- Упражнения
- 34. Основные выводы.
- §6. Комбинаторные задачи и их решение
- § 7. Алгоритмы и их свойства
- Упражнения
- Упражнения
- Глава II. Элементы алгебры
- § 8. Соответствия между двумя множествами
- 41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- 2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- 3. Взаимно-однозначные соответствия
- Упражнения
- 42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- 2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- Упражнения
- 43. Основные выводы § 8
- § 9. Числовые функции
- 44. Понятие функции. Способы задания функций
- 2. График функции. Свойство монотонности функции
- Упражнения
- 45. Прямая и обратная пропорциональности
- Упражнения
- 46. Основные выводы § 9
- §10. Отношения на множестве
- 47. Понятие отношения на множестве
- Упражнения
- 48. Свойства отношений
- R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- 49. Отношения эквивалентности и порядка
- Упражнения
- 50. Основные выводы § 10
- § 11. Алгебраические операции на множестве
- 51. Понятие алгебраической операции
- Упражнения
- 52. Свойства алгебраических операций
- Упражнения
- 53. Основные выводы § 11
- § 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- 54. Выражения и их тождественные преобразования
- Упражнения
- 55. Числовые равенства и неравенства
- Упражнения
- 56. Уравнения с одной переменной
- 2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- 3. Решение уравнений с одной переменной
- Упражнения
- 57. Неравенства с одной переменной
- 2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- 3. Решение неравенств с одной переменной
- Упражнения
- 58. Основные выводы § 12
- Упражнения
- Глава III. Натуральные числа и нуль
- § 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- § 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- 59. Об аксиоматическом способе построения теории
- Упражнения
- 60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- Упражнения
- 61. Сложение
- 62. Умножение
- 63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- Упражнения
- 64. Вычитание
- Упражнения
- 65. Деление
- 66. Множество целых неотрицательных чисел
- Упражнения
- 67. Метод математической индукции
- Упражнения
- 68. Количественные натуральные числа. Счет
- Упражнения
- 69. Основные выводы § 14
- 70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- Упражнения
- Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- 71. Теоретико-множественный смысл суммы
- Упражнения
- 72. Теоретико-множественный смысл разности
- Упражнения
- 73. Теоретико-множественный смысл произведения
- Упражнения
- 74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- Упражнения
- 75. Основные выводы § 15
- §16. Натуральное число как мера величины
- 76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- Упражнения
- 77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- Упражнения
- 78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- 79. Основные выводы § 16
- 80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- 81. Запись числа в десятичной системе счисления
- Упражнения
- 82. Алгоритм сложения
- Упражнения
- 83. Алгоритм вычитания
- Упражнения
- 84. Алгоритм умножения
- Упражнения
- 85. Алгоритм деления
- 86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- 87. Основные выводы § 17
- § 18. Делимость натуральных чисел
- 88. Отношение делимости и его свойства
- 89. Признаки делимости
- 90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- 2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- 3. Признак делимости на составное число
- Упражнения
- 91. Простые числа
- 92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- 93. Основные выводы § 18
- 3. Дистрибутивности:
- § 19. О расширении множества натуральных чисел
- 94. Понятие дроби
- Упражнения
- 95. Положительные рациональные числа
- 96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- 97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- 98. Действительные числа
- 99. Основные выводы § 19
- Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- § 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- 1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- 2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- 3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- § 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- § 22. Построение геометрических фигур
- 1. Элементарные задачи на построение
- 2. Этапы решения задачи на построение
- Упражнения
- 3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- Основные выводы
- §24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- 1. Свойства параллельного проектирования
- 2. Многогранники и их изображение
- Тетраэдр Куб Октаэдр
- Упражнения
- 3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- Основные выводы
- § 25. Геометрические величины
- 1. Длина отрезка и ее измерение
- 1) Равные отрезки имеют равные длины;
- 2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- Упражнения
- 2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- 1) Равные углы имеют равные величины;
- 2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- Упражнения
- 1) Равные фигуры имеют равные площади;
- 2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- 4. Площадь многоугольника
- 5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- Упражнения
- Основные выводы
- 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- 1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- 2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- Заключение
- Список литературы