§ 4. Математическое доказательство
Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений, а такими считают рассуждения, построенные по правилам логики. Рассуждения лежат в основе доказательства, без которого трудно представить математику. Но тех представлений о доказательстве, которые возникли у вас в процессе конкретных доказательств, конечно, недостаточно, чтобы обучать доказательству младших школьников. Учителю нужны более глубокие знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения, нужны знания о структуре и способах доказательства, о взаимосвязи индукции и дедукции.
Умозаключения и их виды
В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется (как его синоним) слово «умозаключение», им и будем пользоваться.
Умозаключение– это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно.
Умозаключение состоит из посылокизаключения.
Посылки– это высказывание, содержащее исходное знание.
Заключение– это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.
Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники, изучая математику.
Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 – двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».
Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна посылка общего характера – это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая – частная, она характеризует только число 23 – оно двузначное. Заключение – это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.
Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6•3 = 3•6, 5•2 = 2•5, 7•3 = 3•7. А затем на основе полученных равенств делают вывод: :для всех натуральных чисел а и bверно равенство а •b=b• а.
В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера – переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Пример 3. При обучении делению на однозначное число используется такой прием. Сначала выясняется: чтобы найти значение выражения 12:4, следует узнать, на какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое, т.е. 12. Известно, что 4 • 3= 12. Значит, 12 : 4 = 3.
Затем учащимся предлагается, рассуждая так же, найти, например, частное 8 : 4. И они сначала находят число, на которое надо умножить 4, чтобы получить 8. Получают число 2 и делают вывод – 8 : 4 = 2.
Далее, используя тот же способ рассуждений, находят частные 9 : 3, 20 : 5 и др.
Видим, что умозаключения бывают разные. В примере 1 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности. Такие умозаключения называют в логике дедуктивными.
Определение. Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
Если посылки дедуктивного умозаключения обозначить буквами А₁, А₂, …, Аn, а заключение – буквой В, то схематично само умозаключение можно представить так: А₁, А₂, …, Аn⇒В. Часто запись пишут в виде дроби.
Дедуктивным является умозаключение, которое рассмотрено в примере 1.
Умозаключения из примера 2 называют неполной индукцией.
Определение.Неполная индукция – это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса.
Неполная индукция не является дедуктивным умозаключением, поскольку, рассуждая по такой схеме, можно прийти к ложному выводу. Они нуждаются в проверке.
Несмотря на то, что неполная индукция не всегда приводит к истинным выводам, роль таких умозаключений в процессе познания велика. Многие общие положения и, в частности, научные законы были открыты с помощью умозаключений, называемых неполной индукцией.
Третий пример – это пример рассуждения по аналогии.
Слово «аналогия» в переводе с греческого означает «соответствие, сходство».
Вообще под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого признака.
Аналогия помогает открывать новые знания, способы деятельности или использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях.
Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.
Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними.
Примеры. Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. При изучении нумерации установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч – этот вывод можно сделать по аналогии.
Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 ( 27•3 = (20+7) •3 = 20•3+7•3=81) детям предлагается умножить 721 на 3. Действуют по аналогии. Затем устанавливают, как умножить 6289 на 3. Следующим шагом может быть обобщение, т.е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т.е. использование неполной индукции.
- 050708 (031200) Педагогика и методика начального образования дпп. Ф. 06. Математика
- Глава I. Элементы логики
- § 1. Множества и операции над ними
- 1. Понятие множества и элемента множества
- 2. Способы задания множеств
- 3. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.
- 4. Пересечение множеств
- 5. Объединение множеств
- 6. Свойства пересечения и объединения множеств
- 7. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального
- 8. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств
- 9. Декартово произведение множеств
- 10. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
- 11. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
- 12. Основные понятия:
- § 2. Математические понятия
- 3. Способы определения понятий
- 4. Основные выводы
- § 3. Математические предложения
- § 4. Математическое доказательство
- 26. Схемы дедуктивных умозаключений.
- §5. Текстовая задача и процесс ее решения
- 29. Структура текстовой задачи
- 30. Методы и способы решения текстовых задач
- 31. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- 2. Поиск и составление плана решения задачи
- 3. Осуществление плана решения задачи
- 4. Проверка решения задачи
- 5. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Упражнения
- 32. Решение задач «на части»
- Упражнения
- 33. Решение задач на движение
- Упражнения
- 34. Основные выводы.
- §6. Комбинаторные задачи и их решение
- § 7. Алгоритмы и их свойства
- Упражнения
- Упражнения
- Глава II. Элементы алгебры
- § 8. Соответствия между двумя множествами
- 41. Понятие соответствия. Способы задания соответствий
- 2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.
- 3. Взаимно-однозначные соответствия
- Упражнения
- 42. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества х на множество y
- 2. Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
- Упражнения
- 43. Основные выводы § 8
- § 9. Числовые функции
- 44. Понятие функции. Способы задания функций
- 2. График функции. Свойство монотонности функции
- Упражнения
- 45. Прямая и обратная пропорциональности
- Упражнения
- 46. Основные выводы § 9
- §10. Отношения на множестве
- 47. Понятие отношения на множестве
- Упражнения
- 48. Свойства отношений
- R рефлексивно на х ↔ х r х для любого х € X.
- R симметрично на х ↔ (х r y →yRx).
- 49. Отношения эквивалентности и порядка
- Упражнения
- 50. Основные выводы § 10
- § 11. Алгебраические операции на множестве
- 51. Понятие алгебраической операции
- Упражнения
- 52. Свойства алгебраических операций
- Упражнения
- 53. Основные выводы § 11
- § 12. Выражения. Уравнения. Неравенства
- 54. Выражения и их тождественные преобразования
- Упражнения
- 55. Числовые равенства и неравенства
- Упражнения
- 56. Уравнения с одной переменной
- 2. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений
- 3. Решение уравнений с одной переменной
- Упражнения
- 57. Неравенства с одной переменной
- 2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств
- 3. Решение неравенств с одной переменной
- Упражнения
- 58. Основные выводы § 12
- Упражнения
- Глава III. Натуральные числа и нуль
- § 13. Из истории возникновения понятия натурального числа
- § 14. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- 59. Об аксиоматическом способе построения теории
- Упражнения
- 60. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- Упражнения
- 61. Сложение
- 62. Умножение
- 63. Упорядоченность множества натуральных чисел
- Упражнения
- 64. Вычитание
- Упражнения
- 65. Деление
- 66. Множество целых неотрицательных чисел
- Упражнения
- 67. Метод математической индукции
- Упражнения
- 68. Количественные натуральные числа. Счет
- Упражнения
- 69. Основные выводы § 14
- 70. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- Упражнения
- Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.
- 71. Теоретико-множественный смысл суммы
- Упражнения
- 72. Теоретико-множественный смысл разности
- Упражнения
- 73. Теоретико-множественный смысл произведения
- Упражнения
- 74. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- Упражнения
- 75. Основные выводы § 15
- §16. Натуральное число как мера величины
- 76. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- Упражнения
- 77. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности
- Упражнения
- 78. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
- 79. Основные выводы § 16
- 80. Позиционные и непозиционные системы счисления
- 81. Запись числа в десятичной системе счисления
- Упражнения
- 82. Алгоритм сложения
- Упражнения
- 83. Алгоритм вычитания
- Упражнения
- 84. Алгоритм умножения
- Упражнения
- 85. Алгоритм деления
- 86. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной
- 87. Основные выводы § 17
- § 18. Делимость натуральных чисел
- 88. Отношение делимости и его свойства
- 89. Признаки делимости
- 90. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- 2. Основные свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел
- 3. Признак делимости на составное число
- Упражнения
- 91. Простые числа
- 92. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- 93. Основные выводы § 18
- 3. Дистрибутивности:
- § 19. О расширении множества натуральных чисел
- 94. Понятие дроби
- Упражнения
- 95. Положительные рациональные числа
- 96. Множество положительных рациональных чисел как расширение
- 97. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- 98. Действительные числа
- 99. Основные выводы § 19
- Глава IV. Геометрические фигуры и величины
- § 20. Из истории возникновения и развития геометрии
- 1. Сущность аксиоматического метода в построении теории
- 2. Возникновение геометрии. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского
- 3. Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.
- § 21. Свойства геометрических фигур на плоскости
- § 22. Построение геометрических фигур
- 1. Элементарные задачи на построение
- 2. Этапы решения задачи на построение
- Упражнения
- 3. Методы решения задач на построение: преобразования геометрических фигур на плоскости: центральная, осевая симметрии, гомотетия, движение.
- Основные выводы
- §24. Изображение пространственных фигур на плоскости
- 1. Свойства параллельного проектирования
- 2. Многогранники и их изображение
- Тетраэдр Куб Октаэдр
- Упражнения
- 3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- Основные выводы
- § 25. Геометрические величины
- 1. Длина отрезка и ее измерение
- 1) Равные отрезки имеют равные длины;
- 2) Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.
- Упражнения
- 2. Величина угла и ее измерение Каждый угол имеет величину. Специального названия для нее в
- 1) Равные углы имеют равные величины;
- 2) Если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
- Упражнения
- 1) Равные фигуры имеют равные площади;
- 2) Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
- 4. Площадь многоугольника
- 5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- Упражнения
- Основные выводы
- 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение
- 1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
- 2) Масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, взятых вместе, равна сумме их масс.
- Заключение
- Список литературы