Распределение Стьюдента

Многие задачи статистики приводят к случайной величине вида , где  и  – независимые случайные величины, причем  – нормально распределенная случайная величина с параметрами M = 0 и D = 1, а  распределена по закону ² c k степенями свободы.

Закон распределения случайной величины t называется законом распределения Стьюдента с k степенями свободы.

График плотности распределения для закона Стьюдента схематически изображен на рисунке 3. Кривая плотности распределения схожа с аналогичной кривой для нормального распределения.

Таблицы распределения Стьюдента позволяют при данном числе степеней свободы k по вероятности q определить значение t_q, для которого выполняется соотношение P(t > t_q)=q. Фрагмент такой таблицы представляет собой таблица 2.

Таблица 2

Задача. Найти симметричный интервал, в который случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы, попадает вероятностью 0,9.

Решение. Очевидны соотношения:

P(–x < t < x) = P(t < x) = 1 – P(t  x) = 0,9.

Из последнего равенства следует:

P(t  x) = 0,1, (n = 12).

Определяем из таблицы: x=1,782. Нестрогое неравенство в скобках в левой части последней формулы нас не должно смущать, так как мы имеем дело с непрерывной случайной величиной, и вероятность того, что она примет конкретное значение, равна нулю.

Задача. Найти значение x из условия P(t > x) = 0,995 , где t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 12-ю степенями свободы.

Решение. На рисунке 4 изображен график плотности распределения Стьюдента с 12-ю степенями свободы. Вероятность того, что случайная величина примет значение из области справа от точки x₁ равна 0,995 , следовательно, в область левее этой точки случайная величина попадает с вероятностью 0,005. Чтобы найти x₁, рассмотрим две симметричные области, изображенные на рисунке 5. Допустим, что в каждой из этих областей значение случайной величины оказывается с вероятностью 0,005. Тогда получаем: x₁= –x, x₂=x, причем x определяется из условия P(t>x)=0,01. Из таблицы 2 находим: x=3,055. Теперь можно выписать ответ задачи:

P(t > –3,055) = 0,995.