Теорема Пуассона

Теорема: Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие наступит раз, приближенно равна:

,

где .

Доказательство: Пусть даны:

– вероятность наступления события в одном испытании;

– число независимых испытаний. Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

.

При достаточно большом и сравнительно небольшом все выражения в скобках, за исключением предпоследнего, можно принять равными единице, т.е.:

.

Учитывая то, что достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е., поскольку:

,

справедливо равенство:

,

что и требовалось доказать.