3.5.1. Лекционный курс — 54 часа

Лекция №1

Понятия об основных алгебраических структурах. Алгебры, подалгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр.

Лекция №2

Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией. Группа, аксиомы группы. Мультипликативная и аддитивная форма записи. Группы конечные и бесконечные. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

Лекция №3

Кольцо, поле, линейное пространство. Арифметическое n- мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.

Лекция №4

Алгебры матриц. Матрицы типа (nm) и квадратные матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Группа, кольцо и линейное пространство матриц.

Лекция №5

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Элементарные матрицы. Обратимые матрицы. Условия обра-тимости матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

Лекция №6

Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Конечная группа подстановок и ее знакопеременная подгруппа.

Лекция №7

Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель произведения матриц. Способы вычисления определителя.

Лекция №8

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Следствия системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных урав-нений и элементарные преобразования системы. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Лекция №9

Методы решения систем линейных уравнений: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса); запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме (матричный метод); правило Крамера.

Лекция №10

Однородные системы линейных уравнений. Пространство решений однородных систем линейных уравнений. Фундаментальный набор решений (базис пространства) однородных систем линейных уравнений. Связь между реше-ниями неоднородной линейной системы и ассоциированной с ней однородной системы.

Лекция №11

Принцип расширения в алгебре. Причины, обуславливающие расширения поля действительных чисел до поля комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел. Плоскость комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел.

Лекция №12

Алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня квадратного из комплексного числа.

Лекция №13

Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Лекция №14

Кольцо целых чисел Z. Отношение делимости в кольце Z. Свойства отношения делимости в кольце Z. Кольцо классов вычетов по модулю m. Деление с остатком в кольце Z. Теорема о делении с остатком.

Лекция №15

Наибольший общий делитель целых чисел и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.

Лекция №16

Взаимно простые числа и их свойства. Наименьшее общее кратное целых чисел и его свойства. Способы нахождения наименьшего общего кратного.

Лекция №17

Простые и составные числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики и следствия из нее.

Лекция №18

Построение кольца многочленов P[x] от одной переменной над полем. Линейное пространство многочленов от одной переменной. Свойства степеней многочленов.

Лекция №19

Отношение делимости в кольце P[x] . Свойства отношения делимости в кольце P[x]. Деление с остатком в кольце P[x]. Теорема о делении с остатком.

Лекция №20

Наибольший общий делитель многочленов и его свойства. Способы нахождения наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Линейное представление наибольшего общего делителя.