§1. Алгебры. Подалгебры. Гомоморфизмы алгебр.

Условимся упорядоченную пару из двух множеств А и В обозначать через <А, В>.

Определение 1. Пусть А - непустое множество, и {f_i iI} -множество n-арных операций f_i заданных на А. Упорядоченную пару <А, { f_i | iI }> называют универсальной алгеброй с множеством операций { f_i | iI }, а множество А - основным множеством или носителем алгебры.

Пишут <А, { f_i }>.

Замечание 1. Хотя понятия алгебра <А, { f_i }> и множество А различны, в том случае, когда ясно, какие операции заданы на А, говорят просто - алгебра А, т.е. алгебру отождествляют с ее носителем.

Замечание 2. В том случае, когда множество операций { f_i | iI } в универсальной алгебре А - конечно, его задают перечислением элементов { f_i , f₂ ,...., f_K } и в записи алгебры опускают фигурные скобки, то есть пишут <А, f_i , f₂ ,...., f_K >.

Пример 1. <N, +,  , 1> - алгебра натуральных чисел. Здесь множество N рассматривается вместе с бинарными операциями сложения, умножения, а также с нуль-арной операцией фиксации единицы.

Пример 2. <Z, -, 0> - алгебра целых чисел. На основном множестве Z рассматриваемой алгебры заданы две операции: бинарная - вычитание и нулъ-арная - фиксация нуля.

Пример 3. Следующие пары <N, ->, <Z, :>, <Q, :>, <R, i> не являются алгебрами, так как рассматриваемые операции не выполняются на данных множествах.

Определение 2. Пусть на множествах А и В задано одно и то же множество операций. Алгебра <В, { f_i }> называется подалгеброй алгебры <А, { f_i }>. если множество В является непустым подмножеством множества А.

Пример 4. Алгебра <Н, + > является подалгеброй алгебры <Z, +>, так как N  Z, и множества их операций совпадают.

Теорема 1. Для того, чтобы непустое подмножество В множества А могло служить основным множеством для некоторой подалгебры универсальной алгебры <А, { f_i }> необходимо и достаточно, чтобы подмножество В было замкнуто относительно каждой операции f_i.

Доказательство:

Необходимость. Пусть ВА и <В,{ f_i }> - подалгебра алгебры <А, { f_i }>. Так как <B, { f_i }> - алгебра, то каждая операция f_i выполнима на В, т. е. множество В замкнуто относительно всех операций f_i .

Достаточность. Пусть ВА и В замкнуто относительно каждой операции f_i заданной на А. Это значит, что все операции f_i выполнимы на В.

Кроме того, так как ВÌА, каждая операция f_i будучи однозначной на А, однозначна и на В. Следовательно, <В, { f_i }> - алгебра, более того -подалгебра алгебры <A, { f_i } >. Теорема доказана.

Пример 5. Рассмотрим алгебру <Z, >. Подмножество Z^- отрицательных чисел множества Z не является подалгеброй, так как Z^- незамкнуто относительно заданной бинарной операции умножения.

Пример 6. Рассмотрим алгебру <Z, , 0>. Подмножество N не является подалгеброй, так как в N нет нуля, т.е. N незамкнуто относительно нуль-арной операции.

Определение 3. Пусть <А, f> и <В, g> - алгебры с n-арными операциями f и g. Отображение : АВ множества А в множество В называется гомоморфизмом алгебры А в алгебру В, если выполняется условие:

a₁…., а_n А, (f(a_{1 ,}….,а_n)) = g( (а₁),....,( а_n)) (*),

которое назовем - условием гомоморфности. Говорят также, что отображение  сохраняет операцию f алгебры А.

Замечание 1. Если f – нуль-арная операция, то она выделяет какой-то элемент (а) алгебры А, и операция g - также нуль-арная - выделяет какой-то элемент (b) алгебры В, то в этом случае условие гомоморфности (*) примет вид: (а) =b .

Замечание 2. Если <А, *> и <В, #> - алгебры с бинар-ными операциями, то условие гомоморфности запишется в виде: a, b А, (а*b) = (а) # (b).

Пример 7. Отображение lg: R⁺ R является гомоморфизмом алгебры <R⁺,> на алгебру <R, +>. Действительно,  a, bR⁺ , lg (ab) = lg a + lg b.

Определение 4. Алгебры <A, {f_i}> и <В, {g_i}> называ-ются: однотипными, если существует биективное отображение множества {f_i} на множество {g_i}, при котором соответственные операции f_i и g_i имеют один и тот же ранг.

В случае, если множества операций, заданных на А и В- конечны, определение однотипных алгебр можно сформу-лировать так:

Определение 4*. Алгебры <А, f₁...,f_k> и <В, g₁...,g_m> называются однотипными, если число их операций одинаково (k = m) и эти операции можно упорядочить так, что f_i и g_i (i = 1,..., к) будут иметь одинаковые ранги.

Пример 8. Алгебры <Q, +, :> и <С, , -> являются однотипными, а алгебры <Z, +,  > и <R, +, , :> однотипными не являются, так как число операций, заданных на Z и R, различно.

Пример 9. Алгебры <N, +, > и <Z, - , 1> разнотипны, так как на N обе операции бинарные, а на Z операция вычитания - бинарная, а операция фиксации единицы - нуль-арная.

Определение 5. Гомоморфизмом алгебры <А, {f_i }> в однотипную ей алгебру <В, {g_i}> называется отображение : А B такое, что при каждом iI выполняется условие гомоморфности:

iI, a₁...,a_n A (f_i(a₁,...,a_n)) = g_i((a₁,...,a_n)). (**)

Говорят также, что отображение  сохраняет все операции, заданные на множестве А.

Определение 6. Алгебры А и В называются гомоморфными алгебрами, если существует гомоморфизм  алгебры А в алгебру В. Пишут, : АВ — гомоморфизм.

Пример 10. Отображение lg:R⁺R является гомоморфизмом алгебры <R⁺, , :> в алгебру <R+, ->, так как

 a, bR⁺ , lg (ab) = lg a + lg b, т. е. образ произведения двух элементов равен сумме образов;

lg (a:b) = lg a - lg b - образ частного двух элементов равен разности образов;

lg a^-1 = -lg a - образ обратного элемента равен проти-воположному элементу;

lg 1 = 0 - образ единичного элемента равен нулевому элементу.

Следовательно, алгебры R⁺ и R гомоморфны.

В зависимости от свойств отображений определяются различные виды гомоморфизмов.

Определение 7. Гомоморфизм : АВ алгебры А в алгебру В называется:

1) Мономорфизмом (или вложением А в В), если отображение  -инъективно;

2) Эпиморфизмом (наложением А на В), если отображение  -сюръективно;

3) Изоморфизмом, если отображение - биективно.

Если алгебра А изоморфна алгебре В, то пишут А  В.

Определение 8. Гомоморфизм : АB алгебры А на себя называется:

1) Эндоморфизмом, если отображение  - инъективно:

2) Автоморфизмом, если отображение  - биективно;

Замечание: Отношение изоморфизма на множестве однотипных алгебр А, В, С, ... является отношением эквивален-тности, т. е.

а) A, АА - отношение  рефлексивно,

б) A, B (A  B=>BA)- отношение  симметрично,

в)  А, В, С, ((А  В) & (В  С)) => (А  С) - отношение  транзитивно.

Следовательно, множество однотипных алгебр разбивается на классы эквивалентности. Изоморфные алгебры считаются различными моделями одной и той же абстрактной алгебры, т.е. изоморфные алгебры по существу считаются одинаковыми относительно свойств рассматриваемых операций на множествах-носителях и могут отличаться лишь обозначениями своих элементов и их названиями. Как мы не различаем экземпляры одного и того же литературного романа, напечатанные разными шрифтами и на разной бумаге, если интересуемся только содержанием романа, так и изоморфные алгебры рассматривают в математике как своеобразные копии друг друга, и часто, вместо изучения свойств некоторой алгебры, исследуют свойства изоморфной ей алгебры.

Понятие изоморфизма играет фундаментальную роль в математике. Это отношение позволяет классифицировать математические объекты с точки зрения свойств операций, заданных на множестве произвольной природы.

Указание 1. Для доказательства изоморфизма двух однотипных алгебр А и В нужно, либо указать конкретный изоморфизм, либо доказать существование такого изоморфизма. Исходя из определения понятия изоморфизма, укажем алгоритм решения задач такого типа. Он состоит из следующих шагов:

1. Задаем отображение : АВ так, что  а, (а) = b;

2. Доказываем, что отображение  является биекцией, т.е.  удовлетворяет двум условиям:

 b В,  аА | (а) =b - условие сюрьективности,

 a₁, а₂  A, ((a₁) = (а₂)) => (a₁ = а₂) - условие иньективности.

3.Проверяем, что  удовлетворяет условию гомоморфности (**).

Пример 11. Доказать, что алгебры <Z, +> и <2Z, +>, где 2Z -множество четных чисел, изоморфны. Для доказательства воспользуемся указанием 1.

1) Зададим отображение : Z2Z следующим образом:

aZ, (а) = 2а.

2) Докажем, что  - сюръективно. Для любого элемента 2nZ всегда можно указать его прообраз nZ, т.е.  - сюръективно.

Докажем, что  -инъективно Пусть a, bZ, (а) = (b), значит 2а = 2b или а = b, т.е.  -инъективно.

3) Остается доказать, что - гомоморфизм. Для этого нужно проверить выполнимость условия гомоморфности:

a, bZ, (а+b) = (а) + (b). (1)

Находим образ суммы, стоящей в левой части равенства (1). Получаем (а+b) = 2(а + b) = 2а + 2b. (2)

Затем находим сумму образов, стоящих в правой части равенства (1):

j(а) + j(b)=2а + 2b.

Сравнивая (2) и (3), видим, что образ суммы равен сумме образов, т.е. выполняется условие (1). Следовательно,  - гомоморфизм.

Таким образом, все три шага алгоритма выполнены. Следовательно,

<Z, +>  <2Z, +>.

Указание 2. Для того, чтобы доказать, что алгебры А и_В неизоморфны нужно указать такое свойство, формулируемое в терминах некоторой операции одной из алгебр, которым другая алгебра не обладает.

Пример 12. Доказать, что алгебры <Q, +> и <Q, > неизоморфны.

Для доказательства воспользуемся указанием 2. Предположим, что эти алгебры изоморфны. В алгебре <Q, +> операция + обладает свойством: aQ, а = а/2 + а/2, где а/2 - число рациональное.

Это же свойство в алгебре <Q, > записывается так : bQ, b = b b.

Однако, не для всех рациональных b число b - рациональное. Следовательно, предположение о том, что данные алгебры изоморфны, неверно.