§2. Определители, их свойства.

Пусть дано конечное множество М; в качестве такого множества можно взять М = {1,2,..,n}.

Определение 1. Биекция : М  М называется подстановкой n-ой степени.

Обозначим множество всех подстановок на множестве М через .

Докажите самостоятельно, что |S_n| = n!

Определим на множестве S_n операцию композиции двух подстановок (биекций) xM x(  )=(x).

Замечание 1. Из определения следует, что композиция двух подстановок будет снова подставной, т.е. множество S_n замкнуто относительно операции композиции (по теореме о композиции биекций).

Пример 1. Найти композицию двух подстановок:

, видим, что        , т.е. операция (°) некоммутативна.

Пусть дано множество М={ l,2,..,i ,k,...n}.

Запишем одну из перестановок этого множества, например, (1,2,...i, k…n)

Будем говорить, что пара элементов (i, к) образует инверсию, если:

1. i > k.

2. i стоит впереди (слева) от к.

Определение 2. Перестановка называется четной, если в ней четное число инверсий и нечетной, если в ней нечетное число инверсий.

Пример 2. Пусть М = {1,2,3,4,5}, (3,1,4,2,5) одна из его перестановок.

Определим число инверсий в этой перестановке. Для этого поступаем так:

Находим наименьший элемент (это 1), зачеркиваем его и считаем, сколько элементов стоит впереди 1, которые больше 1. Видим, что это одно число 3, затем зачеркиваем двойку и считаем, со сколькими элементами она находится в инверсии и так продолжаем до последнего числа:

1+2+0+0+0=3. Следовательно, перестановка (3.1,4,2,5) - нечетная.

Определение 3. Подстановка j = называется четной, если перестановка, стоящая в ее нижней строке, будет четной.

Пример 3. j = - нечетная (проверьте!)

Определение 4. Sg n j =

Запись: Sgn j =1 читается так: "знак подстановки j равен 1".

Из определения следует, что Sgn  = 1, действительно, подстановка  = - четная.

Sg n j^-1 = Sg n j, j^-1 =

Определение 5.

Подстановка  = называется транспозицией элементов (i, k).

Теорема 1. Sg n  = -1 Докажите самостоятельно.

Теорема 2. Алгебра <Sn, o> конечная группа.

Проверьте самостоятельно аксиомы:

1.  , ,   Sn (  )   =   (  )

2.    Sn:    Sn (   =  = )

3.    Sn  ^-1  Sn:   ^-1 = ^-1   = 

4. |Sn| = n!

Эту некоммутативную группу называют симметрической группой подстановок степени (n) и обозначают _n=<Sn, O>

Обозначим через An - множество всех четных подстановок группы _n

Теорема 3. <Аn, > - подгруппа группы _n, ее называют знакопеременной группой подстановок n-ой степени.

Докажите самостоятельно.

Определение 6. Определителем (детерминантом) n-го порядка квадратной матрицы А = ||_ik||, i, к=1, 2, 3, ...,n называют сумму вида:

Sgn  _1(1)  _2(2)  …_n(n) , где Sn =

Sgn j =

Обозначается эта сумма короче символами det A или |А|. Если это определение проговорить словами, то получится следующее:

«Определителем n-го порядка квадратной матрицы А называют алгебраическую сумму всевозможных членов, каждый из которых представляет собой произведение n-элементов, взятых по одному и только одному разу из каждой строки и каждого столбца матрицы А, знак любого члена определяется четностью (нечетностью) подстановки его индексов».

Непосредственно из определения определителя n-го порядка следует истинность следующих утверждений:

1. Определитель n-го порядка имеет n! членов.

Действительно, суммирование введется по всем подстановкам Sn, а множество Sn имеет ровно n! членов, так как на множестве М = {1, 2,...,n} из n элементов можно задать n! подстановок (каждая подстановка является биекцией  : М М).

2. Половина членов определителя будет иметь знак (+), половина - (-), так как половина подстановок будут четными, половина - нечетными.

3. Определитель, в котором какая-то строка или столбец нулевые, будет равен нулю.

Действительно, в этом случае каждый член определителя

_1(1) _2(2) …_n(n) в качестве одного из сомножителей будет содержать ноль.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя n-го порядка имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя (суммы).

Действительно, тогда Используя определение детерминантаn-го порядка, найдем разложение определителя 3-го порядка.

Матрица А=S₃ =

Найдем все подстановки из множества S₃ и определим их четность.

- четная; - нечетная;

- нечетная; - четная;

- нечетная; - четная;

Теперь запишем разложение определителя 3-го порядка:

Из этого разложения видно, что члены со знаком "+" и со знаком "-" выбираются по схемам, которые носят название "'Правило Саррюса".

Пример 4: Вычислить определитель:

=1•1•5 +2•2•0 + 3•0•0 - 0•1•0 -3•2•5 -0•2•1=5 -30= -25

Опираясь на определение детерминанта, можно записать его разложение для порядка n = 4, n = 5, ... Но при этом число членов определителя будет стремительно возрастать.

При n = 4 определитель будет иметь 4! = 1•2•3•4 = 24 члена, при n = 5 уже 5! = 1•2•3•4•5 = 120 членов, при n = 6,

6! = 1•2•3•4•5•6 = 120 • 6 = 720 членов и т.д. Поэтому определители порядка выше n = 3 вычисляют, опираясь не на его определение, а на его свойства.

Основную роль при этом играет такое свойство: элементарные преобразования над строчками (столбцами) определителя n-го порядка не изменяют его значения. Поэтому определитель любого порядка с элементами из поля R может быть приведен к так называемому «треугольному» виду:

Например:

а) det A = =

б) det A= =

в) === =

Понятия минора и алгебраического дополнения элемента _ik определителя n-го порядка позволяют вычислять определители путем разложения их по строке или столбцу, а так же понижать порядок определителя.

Определение 7. Минором M_ik элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1) порядка, который получается из данного определителя путем вычеркивания i - й строки и k - гo столбца.

Определение 8. Алгебраическим дополнением A_ik элемента _ik определителя n-го порядка называют минор M_ik, взятый со знаком (-1)^i+к, т.е. А_ik = (-1)^i+к M_ik,

Пример 5. Вычислить А₂₃ элемента ₂₃ определителя |А| = =

1. Находим минор M₂₃ элемента ₂₃. Дня этого вычеркиваем вторую строчку и третий столбец, получаем определитель:

= 1 - 12 = -11

2. Итак. М₂₃ = -11. Тогда А₂₃ = (-1)²⁺³М₂₃ = -М₂₃ =11

Теорема 4. Докажите,

что det A =

(самостоятельно).