Практическое занятие №21 Приводимые и неприводимые над данным полем многочлены. Формулы Виета.

1. Доказать, что если f(x) и g(x) неприводимые многочлены над полем Р, степени больше нуля и f(x)/g(x) => f(x)=c g(x), где сР.

2. Доказать, что многочлен f(x)  P[x] тогда и только тогда не делится на неприводимый многочлен р(х) над полем Р, когда (f, p) = c.

3. Доказать, что если произведение многочленов f(x) и g(x) делится на неприводимый многочлен над полем Р, то (f(x)/р(х))  (g(x)/р(х))

4. Доказать, что если f, g  P[x] & (f, g) = c, то эти многочлены не имеют общих корней в поле Р.

5. Составить нормированный многочлен наименьшей степени над полем С, имеющий простой корень (-1) и двукратный корень (1-i)

6. Составить нормированный многочлен наименьшей степени над полем R, меющий простой корень (2) и двукратный корень (1 + i).

7. Над какими из полей Q, R или С приводимы многочлены:

a) f(x) = x² - 4x - 2

б) f(x) = 3x² - 2x + 4

в) f(x) = x³ - x² + x + l

г) f(x) = 3x - 6

д) f(x) = х³ – 1

8. Найти кратность корня () многочлена f(x):

а) f(x) = x ⁵ - 5х ⁴ + 7х ³ - 2х² + 4х - 8,  =2

б) f(x) = x⁵ + 7x⁴ + 16x³ + 8x² - l6x - 16,  =-2

в) f(x) = x⁶ + 2х⁵ + 4х⁴ + 4х³ + 5х² + 2х - 2,  =-1

г) f(x) = x⁵ - 4х⁴ - 6х² + 16x² + 29 x + 128,  = 3