§3. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

Определение 1. Пусть <G, *> - группа и HG. Подалгебра <Н, *> группы <G, *> называется подгруппой группы G, если алгебра <Н, *> сама является группой относительно операции *.

Если Н - подгруппа группы G, то пишут Н < G.

Замечание. Для того, чтобы выяснить, является ли некоторое множество HG подгруппой группы G относительно операции *, заданной на G, достаточно проверить следующие условия:

а)  а  Н,  b  Н, а * b  H - условие замкнутости,

б)  а  Н, а'  Н - условие симметризуемости,

называемые в дальнейшем достаточными условиями подгруппы.

Действительно, если  а  Н, а'  Н, то а * а'Н. Так как а * а' = е, то нейтральный элемент е группы G также принадлежит и множеству Н. Операция * на множестве Н является ассоциативной, так как она ассоциативна на множестве G, включающем Н. Итак, <Н, *> - группа.

Пример 1. Рассмотрим аддитивные группы чисел <Z, +>, <2Z, +>, <Q, +>, <R, +>. Имеет место следующая цепочка 2Z<Z<Q<R.

Покажем, например, что 2Z<Z. Действительно, 2ZZ. Кроме того:

а)  a, b  2Z, a + b  2Z,

б)  a  2Z, -a  2Z.

Таким образом, достаточные условия подгруппы выполнены.

Аксиома нейтрального элемента выполнима на 2Z, так как из условий а) и б) следует, что а + (- а) = 0, 02Z. Аксиома ассоциативности тоже выполнима, так как 2ZZ. Таким образом, 2Z < Z.

Пример 2. Подгруппами абстрактной группы G будут так называемые тривиальные подгруппы - сама группа G, т е G<G и группа Е={е, еG}, т.e. E<G.

Пример 3. Показать, что алгебра <R⁺, +> не является подгруппой аддитивной группы <R, +>.

Действительно, R⁺  R. Кроме того,

а)  a, b  R⁺. (a + b)R⁺. - условие замкнутости выполнено,

б) aR⁺ -aR⁺, - условие симметризуемости не выполняется на R⁺. Следовательно, алгебра < R⁺ , +> не является подгруппой группы R, +>.