Практическое занятие №23

Многочлены над полем рациональных чисел и кольцом целых чисел. Целые и рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Неприводимые многочлены над полем рациональных чисел. Критерий неприводимости Эйзенштейна.

1. Докажите неприводимость многочленов

а) ;

б) ;

в)

в кольце Q(x).

2. Найдите все рациональные корни уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

3. Из чего следует единственность разложения на множители в кольце многочленов с рациональными коэффициентами?

4. Сформулируйте и докажите критерий Эйзенштейна.

Практическое занятие №24

Решение уравнений третьей степени в радикалах.

1. Решить уравнения методом Кардано:

а) ;

б) ;

в) .

2. Непосредственно из формулы Кардано вывести, что многочлен имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

3. Пользуясь формулой Кардано, найдите с точностью до 0,01 действительный корень уравнений:

а) ;

б) .

Практическое занятие №25

Решение уравнений четвертой

степени в радикалах.

1. Решить уравнения четвертой степени методом Феррари:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

2. Решить уравнения четвертой степени методом Феррари, проверить правильность решения, найдя корни другими способами.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Практическое занятие №26

Методы решения алгебраических

уравнений высших степеней от

одной переменной.

1. Составить уравнение 6-й степени, имеющее корни:

.

2. Найти сумму квадратов корней уравнения

.

3. Чему равен показатель кратности корня:

а) 2 для многочлена ;

б) –2 для многочлена .

Практическое занятие №27

Контрольная работа №2 по темам «Комплексные числа», «Приводимость многочленов над полями», «Решение алгебраических уравнений высших степеней».

Задание I. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

1)2)

3)4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Задание II. Решить систему линейных уравнений матричным методом и методом Крамера.

n = 1, 2, 3,…10

Задание III. Выполнить указанные операции над комплексными числами.

1); 2) ;

3); 4) ;

5); 6) ;

7); 8) ;

9); 10)

Задание IV. Записать в тригонометрической форме комплексные числа:

1) ;

2)

3) ;

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Задание V. Изобразить данное геометрическое место точек на комплексной плоскости.

1) |z + 1 - 3i| = 4, arg z = /2; 2) |z – 2 + 3i| < 5, arg z = -/3;

3) |z – 3i| < 1, arg z = 5/6; 4) |z + 2i|  7, arg z = -;

5) |z + 2i - 3|  3, arg z = 0; 6) |z + 3| + |z - 2i|  5;

7) |z + 3i| + |z - 1| < 3; 8) |z - (l + i)| + |z + (l + 2i)|  8;

9) |z + (l - i)| + |z - (2 + i)|  10; 10) |z + (1 – 2i)| + |z - 1| < 6;

Задание VI. Разложить многочлены, на множители, неприводимые над полями С, R и Q.

1. f(х) = х⁵ + х³ + x; 2. f(x) = х⁴ + х³ + 3х² + 2х + 2;

3. f(х) = 27х⁴ - 9х² + 14х - 4; 4. f(х) = х⁴ - х³ + 2х² + х - 3;

5. f(х) = х⁴ - 2х³ - 3х² + 4х + 4; 6. f(х) = х⁵ - х⁴ + 5х³ - 5х² + 9х - 9;

7. f(х) = х⁶ + 27; 8. f(х) = х⁴ + 2х³ - х² + 2х + 1;

9. f(х) = х⁴ - 4х³ + 8х² - 16х + 16;

10. f(х) = х⁷ - х⁵ + х⁵ + х⁴ - х³ + x² – 2x - 2.