Практическое занятие №17 Отношение делимости в кольце p[X]. Деление с остатком в кольце p[X].

1. Выяснить, делится ли многочлен f(x) на многочлен g(x) в соответствующем кольце, если:

а) f(х) = 10х⁵ - 4х⁴ + 2х³-12 g(x) = х⁷-3х+1 (Z[x])

б) f(х) = х⁶ - х⁴ + х²-g(x) = х² - х +(Z₁₅[x])

в) f(x) = (l+5i)x³- x²+ 2i g(x) = 2ix² - 8i (C[x])

2. При каких условиях многочлен f(x) делится на многочлен g(x)?

а) f(х) = 8x⁵ - 3х⁴ + ах + b на g(x) = x³ +2х -1 в кольце Z[x]

б) f(х) = x⁴-x² + наg(x) = х²-х +в кольцеZ₇[х]

в) f(x) = 3ix⁴ +(a)x² + b на g(x) = 3х² - (l+i)x + 2i в кольце С[х]

3. Доказать, что если f(x) /g(x), то

1) либо f(x) = 0,

2) либо cm f(x)  cm g(x).

4. Найти сумму, разность и произведение многочленов.

а) f(x) = 4х⁵ + 3х³ + 2х + 8 и g(x) = х⁴ - 10х + 1 из кольца Z[x]

б) f(x) = х⁴ + х³ - х -иg(x) = х⁵ - х⁴ +из кольцаZ₁₃[x]

в) f(x) = (l-2i)x³ + 2ix² - 4i+l и g(x) = 5ix² + 2x-i из кольца С[х]

5. Определить степень суммы и произведения многочленов

а) f(х) = 3х⁷ + 2x³ + х³ + 5 g(x) = x⁸ - 2х + 7 в кольце Z[x]

б) f(х) = х¹⁵ + х⁵ - х³ + g(x) = x² - х + в кольцеZ₁₁[x]

в) f(x) = 3ix⁷ + (2 - 6i) x² + 8 g(x) = 7ix³ + 2ix + 1 в кольце С[х]

6. Доказать, что множество многочленов, степень которых не превосходит 5, образует кольцо и линейное пространство относительно соответствующих операций. Указать базис и размерность этого линейного пространства.

7. Выяснить будет ли множество Р[х] полем относительно операций сложения и умножения многочленов.