Практическое занятие №6

Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Определители второго и третьего порядков.

1. Определить четность и нечетность подстановок:

а)  = ; б)  = .

2. Найти А₅ < _n

3. Найти А₄ < ₄

4. Доказать, что τ = - нечетная подстановка.

5. Определить, с каким знаком входят в определитель 7-го порядка произведение

6. Выбрать значения i и k так, чтобы произведение было членом определителя (какого порядка?) и входило в него со знаком (+).

7. Вычислить определители:

а) б)в)

Практическое занятие №7

Определитель квадратной матрицы.

Миноры и алгебраические дополнения.

Способы вычисления определителя.

Вычислить определители:

1. а) б)в)

2. Вычислить:

а) б)

3. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

а) ₁₃ б) ₃₂ в) ₄₁ г) ₂₄

4. Разложить определитель по элементам первого столбца.

Практическое занятие №8

Системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

2. Докажите, что если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

3. Докажите утверждение: если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Практическое занятие №9

Решение систем линейных уравнений матричным методом

и по правилу Крамера.

1. Решить системы матричным методом.

а) б)

в) г)

2. Решить системы методом Крамера:

а) б)

в)

3. Найти Ф.С.Р.

а) б)

в) г)

Практическое занятие №10

Решение однородных систем линейных уравнений.

1. Решить системы однородных линейных уравнений:

а) б)

в) г)

2. Доказать утверждения: а) если векторы Х и У являются решениями однородной системы, то их сумма также является решением данной системы; б) если вектор Х является решением однородной системы, то вектор также является решением данной системы

3. Докажите, что система не имеет нетривиальных решений:

Практическое занятие №11

Контрольная работа №1 по темам «Понятия об основных алгебраических структурах», «Теория делимости в

кольце Z», «Матрицы», «Определители квадратных матриц», «Решение систем линейных уравнений».

Задание I. Выяснить, какую алгебраическую структуру образует:

1. <2Z, > , где x, у  2Z, х  у = ху

2. <Z, >, где x, у  Z, х  у = х + у – 3xy

3. <2Z, +, •>

4. <Q⁺,+, •>

5. <R⁺, >, где x, у  R⁺, х  у = ху

6. <R^{1}, >, где x, у  R^{1}, х  у = x + y - xy

7. <R, >, где "x, у Î R, х ° у = х + у - 1

8. <Z₈, , > где

9. <Z₁₁, ,•>

10. <R, >, где x  y =

Задание II. Найти строчный ранг матрицы.

1.; 2.; 3.;

4.; 5.; 6.;

7.; 8.; 9.;

10.

Задание III. Вычислить матрицу, обратную данной:

1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.

Задание IV. Вычислить значение определителя:

1); 2); 3); 4)5); 6);

7) ; 8)

9) ; 10)