§4. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце р[х].

Определение 1. Многочлен f(x)  0 из Р[х] называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения многочленов выше нулевой степени, т.е. f(x) = g(x)h(x), где cm g(x) < cm f(x) & cm g(x)  0, cm h(x) < cm f(x) &cm h(x)  0.

Определение 2. Многочлен f(x)P[x] называется неприводимым над полем P, если:

1. cm f(x) > 0,

2. f(x) не разлагается в произведение многочленов меньшей степени.

Пример 1. Многочлен f(x)=x² + 1 = (x - i)(x + i) приводим над полем С и неприводим над полем R и Q.

Многочлен h(x) = x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) приводим над Q, R и С.

Замечание 1. Многочлены нулевой степени не входят в класс приводимых и неприводимых многочленов, а образуют свой класс, т.е. если множество натуральных чисел мы разбили на три класса:

1. единица;

2. простые числа;

3. составные числа,

то и множество Р[х] разбивается на три класса:

1. многочлены нулевой степени (а_iР);

2. приводимые многочлены;

3. неприводимые многочлены.

Замечание 2. Приводимость многочленов зависит от поля Р. (смотри прим. 1)

Также как в кольце Z, в кольце Р[х] можно доказать аналог основной теоремы арифметики.

Теорема f(x)  0, f(x)P[x], cm f(x)>0 разлагается в произведение неприводимых многочленов единственным способом, с точностью до порядка следования многочленов нулевой степени.

Доказать самостоятельно теорему и следствие из неё.

Следствие. Если f(x) = c₁p₁^1(x) p₂^2(x)... p_k^k(x),

g(x) = c₂p₁^1(x) p₂^2(x)...p_s^s(x), то

(f, g) = cp₁^1(x) p₂^2(x)...p_m^m(x), где _i = min(_i, _i)

[f, g] = c₃p₁^l(x) p₂^2(x)...p_n^n(x), где _i = mах(_i, _i)

Покажем, что задача о разложении многочлена на линейные множители (многочлены первой степени) сводится к задаче нахождения корней многочлена f(x) в поле Р.

Пусть f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ и Р. Подставим вместо х в f(x) . Получим, f()=a_nⁿ + a_n-1^n-1+...+a₁+a₀ = cP. Элемент (с) называют значением многочлена f(x) при х =  и записывают: f() = c.

Определение 3. Элемент Р называют корнем многочлена f(x), если f()=0.

Ответ на вопрос о существовании корней многочлена f(x) над полями C, R и Q даёт основная теорема алгебры.

Теорема 1. f(x)  C[x], ст f(x) > 1 имеет хотя бы один корень.

Опираясь на эту теорему и определение понятия корня многочлена, можно доказать теорему 2.

Теорема 2. f() = 0  f(x)/(x - ).

Доказательство.

Необходимость: пусть f() = 0 докажем, что f(x)/(x - ). Разделим f(x) на (x-) с остатком, получим f(x) = (x-)h(x) + r, где rС. Подставим в данное равенство вместо х, , получим:

f() = ( - )h() + r, т.к. f(a)=0 по условию, то 0 = 0 + r => r = 0, т.е. f(x)/(x - )

Достаточность: пусть f(x)/(x - ), докажем, что f() = 0. Разделим f(x) = (x - )h(x) + 0, подставим , получим:

f() = ( - )h() + 0 => f() = 0.

Следствие 1 (теорема Безу). Остаток от деления f(x) на (х - ) равен f() Действительно : f(x) = (x - )h(x) + r, тогда f()=r.

Следствие 2. Если cm f(x) = n, f(x)C[x], то f(x) = (x - ₁) (x - ₂)...(x - _n), т.е. неприводимыми многочленами над полем С будут только многочлены первой степени. Все многочлены, степень которых больше 1, будут приводимыми. Действительно: по основной теореме алгебры многочлен f(x) имеет хотя бы один корень. Обозначим его через _i тогда по теореме 2: f(x)/(x - ) => f(x) = (x - ₁)h(x), где cm(x - ) = l, cm h(x) = n - l. Многочлен h(x) над полем С также будет иметь хотя бы один корень - обозначим его через ₂. Тогда, f(x) = (x - ₂)(x - ₂)q(x).

Продолжая рассуждения, на n – ом шаге мы получим: f(x)=(x - ₁)(x - ₂)...(x - _n).

Замечание. Может случиться так, что

f(x)/(x-a) & f(x) /(x-a)² &…& f(x)/(x-a)^k; но f(x) не делится на

(x - a)^k+1, тогда  называют корнем кратности (к).

Следствие 3. Если многочлен f(x)C[x], cm f(x) = n, то он имеет ровно (n) корней с учетом их кратности. Существует алгоритм деления многочлена f(x) на (х - a), который называют схемой Горнера.

Пусть f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀, cm f(x) = n, a_n  0 разделим f(x) на (х-a), получим: (*) f(x) = (x-a)h(x) + r, где r  Р,

cm h(x) = n – l.

Запишем h(x) в общем виде: h(x) = b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2.. +b₁x + b₀. Тогда, подставив в равенство (*) вместо f(x) и h(x) их выражения, получим:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀ = (х-a)( b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2... b₁x – b₀) + r

Т.к. многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

Вычисление коэффициентов многочленаh(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

1. Найти h(x) и r при делении f(x) на (х - a);

2. Вычислить значение многочлена f(x) при х = a ;

3. Выяснить будет ли (х = a) корнем многочлена f(x), a Р;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х - a).

Пример 2. Пусть f(x) = x⁵ - 15x⁴ + 76x³ - 140x² + 75x - 125 и a =5 Составим схему Горнера:

Какие результаты мы получили:

Во 2-ой строке таблицы мы видим, что остаток от деления f(x) на (х - 5) равен 0, следовательно, f(5) = 0, 5 – корень.

Из 3-ей и 4-ой строки видим, что этот корень имеет кратность 3, т.е. f(x)/(x - 5)³, причём, из 4-ой строки видим, что f(x) = (x - 5)³(х² + 1).

Чтобы разложить многочлен f(x) на неприводимые многочлены над полем С, остаётся найти корни многочлена h(x)=x² +1 в поле С, для этого необходимо решить уравнение: х² + 1 = 0 x₁ = i x₂ = -i.

Тогда, f(x) = (x - 5)³(x-i)(x+i) над полем С.

Для того, чтобы выяснить, многочлены какой степени приводимы и неприводимы над полем R, докажем теорему 3.

Теорема 3. Если z₀  С является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то есть сопряженное комплексное число , также является корнем этого многочлена.

Доказательство.

Пусть дан многочлен f(z)=a_nzⁿ + a_n-1z^n-1 +...+ a₁z + a₀, где все a_i Î R, i=0, l,...,n и z₀ Î С его корень, т.е. f(z₀) = 0.

Покажем, что также будет корнем этого многочлена. Подставим в многочлен, получим: (учитывая свойства сопряженных комплексных чисел:, , если а ÎR) =

Следствие 1. В кольце R[x] неприводимы:

a) многочлены первой степени;

б) многочлены второй степени, которые не имеют действительных корней.

Приводимы:

а) многочлены второй степени, которые имеют действительные

корни.

б) все многочлены выше второй степени.

Действительно: Пусть дан многочлен с действительными коэффициентами: f(x)=ax³ + bx² + cx + d, ст. f(x) = 3. По основной теореме алгебры он будет иметь три корня над полем С, то есть f(х) = (х - z₀)(х – z₁)(х – z₂).

Над полем R возможны такие случаи:

а) все корни - действительные числа; тогда многочлен

f(х) = (х- ₁)(х - ₂) (х - ₃) будет разложен на линейные множители над полем R;

б) один корень z ₀ - комплексный, тогда по теореме(3), тоже будет корнем многочлена, а третий корень будет действительным числом, т.е. f(x) = (x - )(x - z ₀)(x -) над полем С.

Перемножив скобки (х - ) (х - z₀), получим разложение многочлена f(x) в произведение неприводимых многочленов 2-ой и 1-ой степени над полем R

Следствие 2. Многочлен f(x) R[x] нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Задача 1. Разложить на неприводимые многочлены над полем С и R многочлен f(x) = x + 4

Решение.

1. Найдем разложение над полем С, для этого нужно найти все комплексные корни многочлена f(x), т.е. нужно решить уравнение f(x) = 0 в поле С.

х⁴ + 4 = 0

к =0,1,2,3

Разложение f(x) над полем С будет иметь вид: f(x) = (x -1- i)(x + 1 - i)(x + 1 + i)(x – l + i)

Чтобы записать разложение многочлена на неприводимые многочлены над полем R, необходимо перемножить сопряженные скобки: первую с четвёртой, вторую с третьей.

Тогда f(x) = (x² - 2x + 2)(х² + 2х + 2) над полем R, хотя действительных корней многочлен f(x) не имеет.

Если над полем С неприводимы только многочлены первой степени, над полем R многочлены первой степени и некоторые многочлены второй, то над полем рациональных чисел Q существуют неприводимые многочлены любой степени n > 1. Например, многочлен f(x) = xⁿ - 2 неприводим над Q.

Покажем, что решение вопроса о приводимости многочлена f(x) над полем Q можно свести к решению этой задачи над кольцом Z.

Действительно, f(x)ÎQ[x] можно всегда представить в виде , где f₁(x) будет многочленом с целыми коэффициентами.

Например,

В некоторых случаях неприводимость многочленов над полем Q можно установить на основе признака Эйзенштейна.

Признак: Многочлен с целыми коэффициентами f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₁x + a₀, (n > 2, a_n ¹ 0) неприводим над полем Q, если существует простое число р, удовлетворяющее условиям:

1. a_n не делится на р;

2. все остальные a_i делятся на р; (i=0, 1, 2, ...,n - 1);

3. a₀, делясь на р, не делится на р².

Замечание 1. При больших значениях коэффициентов многочлена и высокой степени многочлена этот признак применить очень сложно.

Пример 3. Пусть f(x) = x⁵ + 6x³ + 12x - 3. Используя критерий Эйзенштейна, выяснить, приводим ли многочлен над полем Q?

Можно подобрать простое число р = 3, которое удовлетворяет условиям признака.

Действительно, (1 3); (-6 / 3) & (12 / 3) & (-3 / 3), а (-3 9). Значит, f(x) неприводим над полем Q.

Замечание 2. Если многочлен f(x), cm f(x) > l, приводим над полем С, то он имеет хотя бы один комплексный корень. Для многочленов над полем R и Q условие наличия действительного и рационального корня не является необходимым для того, чтобы многочлен был приводимым.

Например, многочлен f(x) = x⁴ +4, который приводим над полем С и R (см . задачу 1) будет приводим и над полем Q:

f(x)=(x² + 2x + 2) (х² - 2х + 2), но действительных и рациональных корней он не имеет.

Замечание 3. Однако, если многочлен имеет хотя бы один рациональный корень, то он будет приводим над Q, R и С.