§4. Нок целых чисел и его свойства.

Определение 1. Общим кратным конечного множества целых чисел а₁ ,а₂,…,a_k, отличных от нуля, называют целое число m, которое делится на все числа a_i (i=l, 2,…, к)

Определение 2. Целое число (m) называется наименьшим общим кратным чисел а₁ ,а₂,…,a_k, отличных от нуля, если:

1 m - является их общим кратным;

2 (m) делит любое другое общее кратное этих чисел.

Обозначение: m = НОК (а₁ ,а₂,…,a_k) или m = [а₁ ,а₂,…,a_k]

Пример. Даны числа: 2, 3, 4, 6, 12.

Числа 12, 24. 48. 96 являются общими кратными чисел 2, 3, 4, 6, 12 Наименьшим общим кратным будет число 12. т.е.

[2, 3, 4, 6, 12] = 12

НОК определяется однозначно с точностью до порядка следования сомножителей. Действительно, если предположить, что m₁ = [а, b] &m₂ = [a, b]  (m₁ / m₂) & (m₂ / m₁) => [(m₁ = m₂) v (m₁= - m₂)]. Между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух целых чисел существует зависимость, которая выражается формулой: [а, b] = ab/(а, b) (выведите ее самостоятельно)

Эта связь позволяет утверждать, что для любой пары целых чисел, отличных от нуля, существует их наименьшее общее кратное. Действительно, (а, b) – всегда можно однозначно вывести из алгоритма Евклида и по определению (а, b)  0, тогда дробь ab/(а, b)  0 и будет определена однозначно.

Наиболее просто НОК двух целых чисел вычисляется в том случае, когда (а,b)= 1, тогда [а, b] = ab/1 = а • b

Например, [21, 5] = 215/1 = 105, т. к. (21, 5) = 1.