Свойства отношения делимости в кольце р[X].

Свойство 1. В кольце Р[х] любой многочлен f(x) делится на   0, Р. Действительно:

Свойство 2. Если (f(x)/h(x))&(g(x)/h(x))=>(f(x) ± g(x))/h(x).

Доказательство.

Т.к. f(x) /h(x) => s(x)P[x]: f(x)=h(x)s(x)

Т.к. g(x) /h(x) => u(x)P[x]: g(x)=h(x)u(x)

f(x)g(x)=h(x)[]=h(x)m(x)=>(f(x)±g(x))/h(x)

Свойство 3. Если (f(x) / g(x)) & (g(x) / f(x)) => f(x)=cg(x),

где с Р.

Доказательство.

Т.к.f(x) /g(x) => f(x)= g(x)h(x), где h(x) P[x]

Т.к. g(x) /f(x) => g(x)=f(x)s(x), где s(x) P [x]

f(x)=f(x)=>f(x) = f(x)u(x) => cm u(x)=0 => u(х) = с,

где с  Р, т.е. f (x)=g(x)c. Многочлены f(x) и g(x) называют ассоциированными.

Свойство 4. Если (f(x) / g(x)) & h(x)  P => (f(x)h(x)) / g(x). Докажите это свойство самостоятельно.