§1. Построение кольца р[х].

Пусть дано произвольное поле Р, его элементы будем обозначать а₁, а₂, ..., а_n...

Определение 1. Многочленом n - й степени от одной переменной называют выражение вида: а_nхⁿ + а_n-1x^n-1 +...+ a₁x+a₀, где а_iР, а_n  0, n  N⁰ = N  {0}.

Замечание. а_iхⁱ - называют членом многочлена; i - степенью этого члена (если а_i  0); а_i - коэффициентом многочлена и соответствующего члена. Если а_i = 0, то члену а_iхⁱ не приписывается никакой степени, а₀х⁰ - член нулевой степени, если а₀  0 - элемент поля Р.

Для краткой записи многочленов используют знаки f(x), g(x), h(x) и т.п.

Определение 2. Многочлен f(x)= 0хⁿ + 0х^n-1 +...+ 0х + 0 называют нуль-многочленом. Его степень также не определяется.

Определение 3. Степенью многочлена f(x) называют наивысшую из степеней его членов.

Например, f(x)=x³ + 3х⁷ + 4х² + 2 , cт f (x) = 7.

Из определений (1-3) следует, что всё множество многочленов Р[х] = {f(x)| f(x) = a_nxⁿ+...+ ax + а₀} можно разбить на три класса:

1. нуль-многочлен f(x)=0xⁿ+... +0х+0;

2. многочлены нулевой степени (а_i Î Р);

3. многочлены степени выше нулевой f(x), g(x)...

Если даны два многочлена f(x) и g(x), то всегда можно считать, что они содержат одинаковое число членов, т.к. недостающие члены всегда можно приписать с нулевыми коэффициентами, например:

f(x) = х⁵ - х⁴ + 2x³ + 3х² - 5х + 1

g(x) = 0х⁵ - 0х⁴ + 3х³ + х² - 0х + 5

Понятие степени позволяет задать отношение порядка на множестве многочленов P[x]:

а) либо в порядке возрастания степени их членов, например:

f(х) = 3+4х²-5х⁴ + х⁶;

б) либо в порядке убывания степени их членов, например:

f(х) = Зх⁵-х³ + 2х² + 8;

Всё вышесказанное позволяет определить понятие алгебраического равенства двух многочленов.

Определение 4. f(x), g(x) Î P[x], если

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1 x^n-1+...+ а₁x+ а₀ и

g(x) = b_nхⁿ+b_n-1 х^n-1+…+b₁+b₀ , то

f(x) = g(x)  (а_n = b_n) & (a_n-1 = b_n-1)& ... & (a₀ = b₀)

Это отношение будет:

а) рефлексивно, т.к. f(x), f(x)= f(x);

б) симметрично, т.к. f(x), g(x), если (f(x)= g(x))  (g(x)= f(x));

в) транзитивно, т.к. f(x), g(x), h(x), если [f(x)=g(x)]&[g(x)=h(x)] => [f(х) = h(x)]. (Проверьте!)

Таким образом, отношение равенства многочленов есть отношение эквивалентности на множестве Р[х], в каждый класс эквивалентности попадает только один многочлен.

Замечание. Выше мы определили понятие многочлена как некоторое формальное выражение, однако понятие многочлена можно определить и с других точек зрения. Например, многочлен f(x) = a_nxⁿ+a_n-1 x^n-1+...+ а₁x+ а₀ можно рассматривать как арифметический вектор (а₀, a₁, a₂,...,a_n, 0...0), т.к. коэффициенты многочлена определяют его однозначно. Так, по вектору (3, 5, 1) можно составить многочлен f(х)= х² + 5х + 3.

С другой стороны, многочлен f(x) можно рассматривать как некоторую функцию, определённую на множестве Р. Поэтому отношение равенства двух многочленов каждый раз определяется по-новому (как равенство двух арифметических векторов и как равенство двух функций).

Определим на множестве Р[х] три операции:

1. f, g  P[x], f + g = (a_n + b_n)xⁿ + (a_n-1 + b_n-1)x^n-1 + ...+ (a₀ + b₀)

2. f  P[x] , P, f= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₁x +a₀

3. f, gP[x], fg = a₀b₀ + (a₀b₁ + a₁b₀)x+…+(a₀b_i +...+ a_ib_i-1 + a_ib₀)xⁱ + +... + a_nb_mx^n+m

Замечание. Из этих определений следует, что действия сложения и умножения - это бинарные операции, действие умножения на скаляр при фиксированном , будет унарной операцией.

Пример 1. Пусть f(x) = 3х⁵ - 2х³ + 4, g(x) = 2х⁴ + х² + 1, тогда

f(x) + g(x) = 3х⁵ + 2х⁴ + 2х³ + х² + 5

f(x) • g(x) = (3х⁵ + 2х³ + 4)(2х⁴ + х² + 1) = 6х⁹ + 3х⁷ + 3х⁵ + 4х⁷ + 2х⁵ + 2х³ + 8х⁴ + 4x² + 4 = 6х⁹ + 7х⁷ + 5х⁵ + 8х⁴ + 2x³ + 4х² + 4

3 • g(x) = 6х⁴ + Зх² + 3

Свойства степени многочлена вытекают из определения операций:

1. свойство Если f(x)  0 и g(x)  0, то

cm(f(x) + g(x))  max(cm f(x), cm g(x))

2. свойство Если f(x)  0 и g(x)  0,то cm (f(x)g(x)) = cm f(x) + cm g(x)

Действительно, это следует из определения операции умножения и того, что если cm f(x) = n, значит а_n  0, если cm g(x) = m, значит b_m  0, тогда а_nb_m  0 т.к. а_n ,b_m  P, а в поле делителей нуля нет. Поэтому член а_nb_mx^m+n многочлена f(x)g(x) будет иметь наивысшую степень (m+n).

Это свойство позволяет сделать вывод, о том, что множество многочленов не содержит делителей нуля.

Теорема 1. Алгебра <Р[х], +, •> - является коммутативным, ассоциативным кольцом с единицей.

Доказательство.

I. Нужно проверить, что множество Р[х] - множество многочленов, замкнуто относительно указанных операций

II. Проверить выполнение следующих аксиом:

1.  f, g  P[x], f + g = g + f

2.  f, g, h  P[x], (f + g) + h = f + (g + h)

3.  0 Î P[x]: " f Î P[x], 0 + f = f + 0 = f

4. f  P[x]  (-f)  P[x]: f + (-f) = (-f) + f = 0

5.  f, g, h  P[x], (f + g)h = fh + gh, h(f + g) = hf + hg

6.  f, g  P[x], f  g = g  f

7.  f, g, h  P[x], (f  g)  h = f  (g  h)

8. " f Î P[x], l  f = f

Проверить каждую аксиому самостоятельно.