87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.
Объем телапо известным площадям поперечных сечений
Известны площади сечений S(x) телаплоскостями
18.2.2. Объем тела вращения
Криволинейная трапеция D,
вращается вокруг оси ОХ
Криволинейная трапеция D,
x = 0 вращается вокруг оси OY
18.3. Вычисление длины дуги кривой L
18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат
18.3.2. Длина дуги при параметрическом задании L
18.3.2. Длина дуги в полярных координатах
18.1. Вычисление площади плоской фигуры
18.1.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах
а) Пусть фигура D имеет границу
Еслина [а ,b], то D — криволинейная трапеция и
Прина [a,b] D расположена ниже оси ОХ и
Отсюда следует, что если (х) конечное число раз меняет знак на [а,b] (рис. 18.1), то
Рис. 18.1
Пример:(рис. 18.1, б).
+
б) Пусть фигура D имеет границу
Площадь(рис. 18.2, а),
Рис. 18.2
поэтому имеем формулу
В общем случае площадь вычисляется по формуле
Пример:(рис. 18.2, б).
18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой
Пусть криволинейная трапеция D имеет границу
Тогда методом подстановки получаем формулу
Пример:
Рис. 18.3
18.1.3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
О: Полярной системой координат называется совокупность т. О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полупрямой(полярной оси). Полярными координатами т.М называются числа(полярный радиус) и
(полярный угол) (рис. 18.4, а).
Рис. 18.4
Если считать, чтото между точками плоскости и парами чиселустанавливается взаимно однозначное соответствие.
Пусть начало прямоугольной системы координат ХОY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХ— с полярной осью. Тогда зависимость между координатами т.М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 18.4, б).
(18.1)
При нахождениинеобходимо учитывать, в какой четверти находится т. М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до
Линия в полярной системе координат определяется уравнениемНапример, r = a, a = const — уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом а (рис. 18.5, а);— уравнение так называемой трехлепестковой розы (рис. 18.5, б).
Рис. 18.5
О: Криволинейным сектором в полярной системе координат называется фигура D с границей (рис. 18.6, а).
Для вычисления площади криволинейного сектора разобьем его на п частей лучамиПусть
— длина некоторого радиус-вектора, расположенного в(рис. 18.6, б).
Рис. 18.6
Площадь «ступенчатого» сектора, состоящего из п круговых секторов с центральными угламии радиусами
За площадь криволинейного сектора естественно принять
Так как в правой части этого уравнения стоит интегральная сумма для функциина отрезкето окончательно
имеем
Пример: Вычислить площадь, ограниченную трехлепестко-вой розой(см. рис. 18.5, б).
Достаточно вычислить площадь половины одного лепестка притогда
Пусть криволинейная трапеция D c границей
вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами у (х), поэтому
и
Пусть криволинейная трапеция D с границейх = х(у),у=с, y=d(c<d),x = 0 вращается вокруг оси OY, тогда
Пример: Определить объем тела, образованного вращением фигуры D с границей= 4 - х, х = 0: а) вокруг оси ОХ;
б) вокруг оси OY.
При вращении фигуры D вокруг оси ОХ получим параболоид (рис. 18.8, а), объем которого
Рис. 18.8
При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8, б. Его объем
- Свойства
- [Править]Неравенство Коши — Буняковского
- Нормальное уравнение плоскости.
- Общее уравнение прямой - основные сведения.
- Переход от общего уравнения прямой
- 13,14,15,16 В отдельном файле
- 17. Цилиндрические поверхности с образующей, параллельной одной из координатных осей.
- 18. Матрицы. Линейные операции над матрицами, их свойства.
- 19. Нелинейные операции над матрицами (умножение, транспонирование), их свойства. Умножение матриц
- Транспонирование и эрмитово сопряжение
- 20. Обратная матрица. Теорема существования, единственность, свойства.
- 21. Матричные уравнения. Теорема существования и единственности решения.
- 22. Решение системы линейных уравнений матричным методом. Правило Крамера.
- 23. Ранг матрицы. Свойства ранга.
- 24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы
- Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц
- 25. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Теорема о ранге.
- 26. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли о совместимости систем.
- 27. Однородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Общее решение ослу.
- 28. Фундаментальная система решений ослу
- 29. Неоднородные системы линейных уравнений. Свойства их решений. Построение общего решения нслу.
- 30. Линейные пространства. Определение. Примеры, следствия из аксиом.
- 31. Линейная зависимость векторов линейного пространства. Свойства
- 32. Базис линейного пространства. Размерность
- 33. Единственность разложения векторов по базису. Координаты. Действия над векторами в координатной форме.
- 34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.
- 35. Евклидово пространство. Определение, примеры. Модуль вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского.
- 36. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
- 37. Образ и ядро линейного оператора. Ранг линейного оператора.
- 38.В отдельном файле.
- 39. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Их свойства
- 40. Последовательность. Предел последовательности. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Определение
- [Править]Примеры
- [Править]Операции над последовательностями
- [Править]Подпоследовательности
- [Править]Примеры
- [Править]Свойства
- [Править]Предельная точка последовательности
- [Править]Предел последовательности
- [Править]Некоторые виды последовательностей
- [Править]Ограниченные и неограниченные последовательности
- [Править]Критерий ограниченности числовой последовательности
- [Править]Свойства ограниченных последовательностей
- [Править]Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- [Править]Свойства бесконечно малых последовательностей
- [Править]Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- [Править]Свойства сходящихся последовательностей
- 41. Понятие функции. Способы задания функции.
- 42. Предел функции в точке, в бесконечности. Геометрическая интерпретация. Определения и примеры.
- 43. Теоремы о пределах:
- 44. Непрерывные функции и их свойства:
- Свойства Локальные
- Глобальные
- Теорема о сохранении знака для непрерывной функции
- Доказательство
- 45. Первый замечательный предел. Следствия. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- 46. Ограниченные функции и их свойства. Необходимое условие существования предела функции в точке.
- 47. Бесконечно малые функции, их свойства. Леммы
- Леммы о бесконечно малых
- 48. Критерий существования предела функции в точке.
- 49. Бесконечно большие функции, связь с бесконечно малыми функциями.
- 50. Раскрытие неопределенностей. Второй замечательный предел.
- 51. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
- 52. Теорема о применении эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов.
- 3.2. Основные формулы эквивалентности бесконечно малых.
- 53. Односторонние пределы функции в точке. Односторонняя непрерывность функции в точке.
- 54. Точки разрыва функции и их классификация.
- 55. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- 56. Задачи, приводящие к понятию производной. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной.
- 1.1 Задачи, приводящие к понятию производной
- , Если .
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 57. Дифференцируемость функции. Критерий дифференцируемости функции в точке.
- 58. Производная сложной функции.
- 59. Дифференциал функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 60. Обратная функция и ее производная.
- 61. Правила дифференцирования.
- 63. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции.
- 5.4. Производная степенно-показательной функции
- 64. См. Отдельный файл.
- 65. Теоремы о среднем – Ферма, Ролля.
- 66. Теоремы о среднем – Лагранжа, Коши.
- 67. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи.
- 68. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей с использованием правила Лопиталя.
- 69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора.
- 70. Монотонность функции. Условия монотонности.
- 71. Экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.
- 72. Достаточные условия экстремума.
- 73. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- 74. Асимптоты графика.
- [Править]Виды асимптот графиков [править]Вертикальная
- [Править]Горизонтальная
- [Править]Наклонная
- [Править]Нахождение асимптот
- 76. Метод замены переменных в неопределенном интеграле.
- 77. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, интегрируемых по частям.
- 78. Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на сумму простейших.
- 79. Интегрирование простейших рациональных дробей.
- 80. Интегрирование тригонометрических функций.
- 81. Интегрирование иррациональностей вида…
- 82. Интегрирование иррациональностей вида…
- 83. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Теорема о среднем.
- 84. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- 85. Полярная система координат. Уравнения кривых в полярной системе координат.
- Уравнение кривых в полярных координатах
- Окружность
- Полярная роза
- Спираль Архимеда
- Конические сечения
- 86. Вычисление определенного интеграла. Применение его к вычислению площадей плоских фигур, длины дуги кривой.
- 87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.
- 88. Приложение определенного интеграла к задачам физики.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- 89. Несобственные интегралы I рода.
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- 90. Несобственные интегралы II рода.
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода