[Править]Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]

С в о й с т в а   скалярного произведения

1.                =0, если

2.                , множители можно менять местами.

3.                

4.                

В ы ч и с л е н и е скалярного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства скалярного произведения, получаем

.

С учетом того, что

,

 получается

.                                                                  (7)

В частности

,

откуда

.                                                                        (8)

Как следует из выражения (4), скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. С помощью выражений (5) и (6) получаем

.                                                    (9)

П р и м е р. Найдите скалярное произведение векторов и косинус угла между ними.

Р е ш е н и е. Подставляем координаты векторов в формулу (4) и получаем значение скалярного произведения

С помощью формулы (9) находим косинус угла между векторами

.

4. Векторное произведение, свойства, вычисление в ДПСК

Векторное произведение векторов

О п р е д е л е н и е. Векторным произведением иназывается вектор, удовлетворяющий следующим условиям

1.                .

2.                .

3.                Векторы образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение символически обозначается

.

Свойства векторного произведения

1.                ,

2.                ,

3.                

4.                Векторное произведение по абсолютной величине равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на составляющих   

Вычисление векторного произведения в ДПСК.  Пусть векторы заданы координатами 

,

.

Учитывая свойства векторного произведения, получаем

.

С учетом того, что

,

 получаем

                                               (10)

или

.                                                                       (11)

Векторное произведение в ДПСК согласно формуле (11) представляет собой символический определитель третьего порядка. Элементы первой строки – единичные векторы, элементы второй строки – координаты первого вектора, элементы третьей строки – координаты второго вектора.

5. Смешанное произведение, свойства, вычисление в ДПСК

Смешанное произведение 

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением трех векторов называется число, которое получается, если векторыиперемножить векторно и затем полученный вектор перемножить с векторомскалярно.

Геометрический смысл смешанного произведения

,   ,,,

.                                                        (12)

Если образуют правую тройку векторов, то смешанное произведение, если левую, то. Выражение (1) определяет объем параллелепипеда через векторы, на которых он построен как на составляющих. Значит,. Поэтому смешанное произведение указывают без указания знаков

.                                                                  (13)

Вычисление смешанного произведения в декартовых системах.  Векторное произведение

.

умножим на вектор скалярно

.                                (14)

Раскроем определитель по элементам третьей строки

.                                         (15)

Сравнивая правые части равенств (14) и (15), получаем

.                                                                  (16)

П р и м е р.  Найдите объём и высоту параллелепипеда, построенного на векторах

, если A(1;2;3),  B(2;1;4),   D(4;1;5), 

Р е ш е н и е. Введём обозначения . Подставляем координаты векторовв формулу (16)

.

Как известно, , откуда

.                                                                         (17)

Находим . Для этого вычисляем векторное произведение

,

находим модуль полученного вектора . Подставляем  значенияив формулу (17) и  получаем значение высоты

.

6. Плоскость, различные виды уравнения плоскости:

а) уравнение плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору;

б) общее уравнение плоскости;

в) уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.

К началу страницы

Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , гдеA, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называетсяобщим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида , где- некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенстваиэквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскостиизадают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyzкаждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнениюсоответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А, В, С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называетсяполным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскостиOyz, уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy, а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A, B и C в общем уравнении плоскости представляют собойкоординаты нормального вектора плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

Рекомендуем ознакомиться с материалом статьи общее уравнение плоскости, где информация по теме изложена детальнее, подробно разобраны решения характерных примеров и задач.

К началу страницы

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости вида , гдеa, b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках.

Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a, b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a, b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .

Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках, там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.