87. Вычисление объемов тел, объемов тел вращения.

Объем телапо известным площадям поперечных сечений

Известны площади сечений S(x) телаплоскостями

18.2.2. Объем тела вращения

Криволинейная трапеция D,

 вращается вокруг оси ОХ

Криволинейная трапеция D,

 x = 0 вращается вокруг оси OY

18.3. Вычисление длины дуги кривой L

18.3.1. Длина дуги в прямоугольной системе координат

18.3.2. Длина дуги при параметрическом задании L

18.3.2. Длина дуги в полярных координатах

18.1. Вычисление площади плоской фигуры

18.1.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

а) Пусть фигура D имеет границу

Еслина [а ,b], то D — криволинейная трапеция и

Прина [a,b] D расположена ниже оси ОХ и

 Отсюда следует, что если (х) конечное число раз меняет знак на [а,b] (рис. 18.1), то

Рис. 18.1

Пример:(рис. 18.1, б).

+

б) Пусть фигура D имеет границу

 Площадь(рис. 18.2, а),

Рис. 18.2

поэтому имеем формулу

В общем случае площадь вычисляется по формуле

Пример:(рис. 18.2, б).

18.1.2. Площадь криволинейной трапеции при параметрическом задании кривой

Пусть криволинейная трапеция D имеет границу

Тогда методом подстановки получаем формулу

Пример:

Рис. 18.3

18.1.3. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

О: Полярной системой координат называется совокупность т. О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полупрямой(полярной оси). Полярными координатами т.М называются числа(полярный радиус) и

(полярный угол) (рис. 18.4, а).

Рис. 18.4

Если считать, чтото между точками плоскости и парами чиселустанавливается взаимно однозначное соответствие.

Пусть начало прямоугольной системы координат ХОY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХ— с полярной осью. Тогда зависимость между координатами т.М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 18.4, б).

 (18.1)

При нахождениинеобходимо учитывать, в какой четверти находится т. М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до

Линия в полярной системе координат определяется уравнениемНапример, r = a, a = const — уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом а (рис. 18.5, а);— уравнение так называемой трехлепестковой розы (рис. 18.5, б).

Рис. 18.5

О: Криволинейным сектором в полярной системе координат называется фигура D с границей (рис. 18.6, а).

Для вычисления площади криволинейного сектора разобьем его на п частей лучамиПусть

 — длина некоторого радиус-вектора, расположенного в(рис. 18.6, б).

Рис. 18.6

Площадь «ступенчатого» сектора, состоящего из п круговых секторов с центральными угламии радиусами

За площадь криволинейного сектора естественно принять

Так как в правой части этого уравнения стоит интегральная сумма для функциина отрезкето окончательно

имеем

Пример: Вычислить площадь, ограниченную трехлепестко-вой розой(см. рис. 18.5, б).

Достаточно вычислить площадь половины одного лепестка притогда

Пусть криволинейная трапеция D c границей

 вращается вокруг оси ОХ. Поперечными сечениями являются круги с радиусами у (х), поэтому

и

Пусть криволинейная трапеция D с границейх = х(у),у=с, y=d(c<d),x = 0 вращается вокруг оси OY, тогда

Пример: Определить объем тела, образованного вращением фигуры D с границей= 4 - х, х = 0: а) вокруг оси ОХ;

б) вокруг оси OY.

При вращении фигуры D вокруг оси ОХ получим параболоид (рис. 18.8, а), объем которого

Рис. 18.8

При вращении фигуры D вокруг оси OY получаем тело, изображенное на рис. 18.8, б. Его объем