34. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица перехода.

Пусть в некотором базисе n-мерного векторного пространства заданы две линейно независимые системы векторов   и   то есть, они тоже являются базисами этого пространства.

Если - координаты вектора в базисе , то связь координат и задается системой линейных уравнений (об этом мы говорили в предыдущем пункте):   , которая в матричной форме может быть записана как

Аналогично для вектора мы можем записать

Действуя дальше аналогично, получим

Предыдущие матричные равенства можно объединить в одно, которое по сути задает связь векторов двух различных базисов

Аналогично мы можем выразить все векторы базиса через базис :

Определение.

Матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису , а матрицу - матрицей перехода от базиса к базису .

Из двух последних равенств видно, что   следовательно, матрицы перехода являются взаимно обратными.

Разберем пример.

Пример.

Найдите матрицу перехода от базиса к базису, а также укажите связь координат произвольного вектора x в этих базисах.

Решение.

Пусть T – матрица перехода от базиса к базису , тогда справедливо равенство   Умножив обе части этого равенства справа на   получим Найдем матрицу перехода, при этом не будем подробно останавливаться на нахождении обратной матрицы и умножении матриц (смотрите при необходимости статьи нахождение обратной матрицы и операции над матрицами):

Осталось выяснить связь координат вектора x в заданных базисах.

Пусть в базисе вектор x имеет координаты , тогда а в базисе вектор x имеет координаты , тогда Так как левые части последних двух равенств одинаковы, то мы можем приравнять правые части:  Если умножить обе части справа на то получимС другой стороны(найдите обратную матрицу самостоятельно). Два последних равенства дают нам искомую связь координат вектора x в базисах и .

Ответ:

матрица перехода от базиса к базису имеет вид ; координаты вектора x в базисах и связаны соотношениями или.